Construa o gráfico das seguintes funções de
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado dá a função
O que precisamos para construir o gráfico (lista das coisas que vou achar passo a passo):
- as raízes (zeros) da função, pontos onde
; - o vértice da parábola (coordenadas
); - a equação na forma de vértice (para facilitar o desenho);
- o intercepto com o eixo
( ); - a concavidade (abre para cima ou para baixo) e se o vértice é máximo ou mínimo;
- alguns pontos simétricos para plotar e desenhar a curva suavemente.
Não começo a desenhar ainda — primeiro encontro esses elementos.
Passo 2
Encontrar as raízes resolvendo
. Começo escrevendo a equação:
Multiplico por
para facilitar:
Agora fatoro o trinômio: quais dois números multiplicam para
e somam
? São
e
. Logo
Portanto as raízes são
Esses são os pontos onde a parábola corta o eixo
:
e
.
Passo 3
Achar a abscissa do vértice. Para uma parábola
a abscissa do vértice é
Aqui
e
. Então
Observação útil (para prova rápida):
também é a média das raízes quando a parábola tem duas raízes reais, ou seja
, checa certinho.
Agora calculo
. Faço a conta passo a passo:
Calculo os termos em frações:
Coloco tudo sobre
:
Logo o vértice é
Passo 4
Escrever a função na forma de vértice (completando o quadrado). Isso é útil porque indica diretamente o vértice e a concavidade. Parto de
Coloco em evidência o sinal de
:
Completo o quadrado dentro do parêntese:
. Substituindo:
Distribuo o
e somo constantes:
Portanto a forma de vértice é
o que confirma o vértice
e mostra claramente que a parábola tem coeficiente
.
Passo 5
Determinar o intercepto com o eixo
(colocar
):
Então o ponto de interseção com o eixo
é
.
Passo 6
Concavidade e tipo de extremo. O coeficiente principal é
, que é negativo, então a parábola abre para baixo. Isso significa que o vértice é um máximo e o valor máximo de
é
.
Passo 7
Calcular alguns pontos simétricos em relação ao eixo de simetria
para ajudar no desenho. Faço alguns valores inteiros próximos:
-
, ponto . -
, ponto . - Pela simetria,
e terão os mesmos valores que e respectivamente, pois e estão à mesma distância de que e :
Já tínhamos também as raízes mostradas no Passo 2:
e
.
Passo 8
Instruções práticas para desenhar o gráfico (o que desenhar no papel em ordem):
- Desenhe os eixos
e com escala compatível (marcar 1 em 1 é suficiente aqui). - Trace a linha do eixo de simetria
como linha pontilhada (opcional) — ajuda a colocar pontos simétricos. - Marque o vértice
e note que é o ponto mais alto. - Marque as raízes
e . - Marque o intercepto com
: . - Marque os pontos
, , , para dar forma à curva. - Desenhe suavemente uma parábola que passa por esses pontos, abrindo para baixo, com máximo no vértice.
Dica para prova: ao desenhar rápido, bastam vértice + duas raízes + um ponto adicional para garantir a forma correta.
Passo 9
Resumo rápido das propriedades verificadas (útil para revisar antes da prova):
- raízes:
e ; - vértice:
; - forma de vértice:
; - intercepto em
: ; - concavidade: para baixo (máximo no vértice);
- pontos adicionais para plotar:
.
Resposta
Vértice:
Eixo de simetria:
Raízes: e
(pontos
e
)
Intercepto em :
Forma de vértice:
Concavidade: abre para baixo (vértice é máximo)
Eixo de simetria:
Raízes:
Intercepto em
Forma de vértice:
Concavidade: abre para baixo (vértice é máximo)