Construa o gráfico das seguintes funções de
f(x)=-x^{2}+7 x-12

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado dá a função
f(x) = -x^{2} + 7x - 12.
O que precisamos para construir o gráfico (lista das coisas que vou achar passo a passo):
  • as raízes (zeros) da função, pontos onde f(x)=0;
  • o vértice da parábola (coordenadas x_v,y_v);
  • a equação na forma de vértice (para facilitar o desenho);
  • o intercepto com o eixo y ( f(0));
  • a concavidade (abre para cima ou para baixo) e se o vértice é máximo ou mínimo;
  • alguns pontos simétricos para plotar e desenhar a curva suavemente.
    Não começo a desenhar ainda — primeiro encontro esses elementos.

Passo 2

Encontrar as raízes resolvendo f(x)=0. Começo escrevendo a equação:
-x^{2}+7x-12=0.
Multiplico por -1 para facilitar:
x^{2}-7x+12=0.
Agora fatoro o trinômio: quais dois números multiplicam para 12 e somam -7? São -3 e -4. Logo
x^{2}-7x+12=(x-3)(x-4).
Portanto as raízes são
x=3\quad\text{e}\quad x=4.
Esses são os pontos onde a parábola corta o eixo x: (3,0) e (4,0).

Passo 3

Achar a abscissa do vértice. Para uma parábola ax^{2}+bx+c a abscissa do vértice é
x_v = -\dfrac{b}{2a}.
Aqui a=-1 e b=7. Então
x_v = -\dfrac{7}{2\cdot(-1)} = \dfrac{7}{2}.
Observação útil (para prova rápida): x_v também é a média das raízes quando a parábola tem duas raízes reais, ou seja \dfrac{3+4}{2}=\dfrac{7}{2}, checa certinho.
Agora calculo y_v=f\!\left(\dfrac{7}{2}\right). Faço a conta passo a passo:
f\!\left(\dfrac{7}{2}\right) = -\left(\dfrac{7}{2}\right)^{2} + 7\cdot\dfrac{7}{2} -12.
Calculo os termos em frações:
-\left(\dfrac{49}{4}\right) + \dfrac{49}{2} - 12.
Coloco tudo sobre 4:
-\dfrac{49}{4} + \dfrac{98}{4} - \dfrac{48}{4} = \dfrac{-49+98-48}{4} = \dfrac{1}{4}.
Logo o vértice é
\left(\dfrac{7}{2},\dfrac{1}{4}\right).

Passo 4

Escrever a função na forma de vértice (completando o quadrado). Isso é útil porque indica diretamente o vértice e a concavidade. Parto de
f(x) = -x^{2}+7x-12.
Coloco em evidência o sinal de a=-1:
f(x) = -\bigl(x^{2}-7x\bigr)-12.
Completo o quadrado dentro do parêntese: x^{2}-7x = \bigl(x-\tfrac{7}{2}\bigr)^{2} - \tfrac{49}{4}. Substituindo:
f(x) = -\Bigl(\bigl(x-\tfrac{7}{2}\bigr)^{2} - \tfrac{49}{4}\Bigr) -12.
Distribuo o - e somo constantes:
f(x) = -\bigl(x-\tfrac{7}{2}\bigr)^{2} + \tfrac{49}{4} - 12 = -\bigl(x-\tfrac{7}{2}\bigr)^{2} + \tfrac{1}{4}.
Portanto a forma de vértice é
f(x) = -\bigl(x-\tfrac{7}{2}\bigr)^{2} + \tfrac{1}{4},
o que confirma o vértice \left(\tfrac{7}{2},\tfrac{1}{4}\right) e mostra claramente que a parábola tem coeficiente a=-1.

Passo 5

Determinar o intercepto com o eixo y (colocar x=0):
f(0) = -0^{2} + 7\cdot 0 - 12 = -12.
Então o ponto de interseção com o eixo y é \left(0,-12\right).

Passo 6

Concavidade e tipo de extremo. O coeficiente principal é a=-1, que é negativo, então a parábola abre para baixo. Isso significa que o vértice é um máximo e o valor máximo de f é y_v=\tfrac{1}{4}.

Passo 7

Calcular alguns pontos simétricos em relação ao eixo de simetria x=\tfrac{7}{2} para ajudar no desenho. Faço alguns valores inteiros próximos:
  • f(1) = -1 + 7 -12 = -6, ponto \left(1,-6\right).
  • f(2) = -4 + 14 -12 = -2, ponto \left(2,-2\right).
  • Pela simetria, f(5) e f(6) terão os mesmos valores que f(2) e f(1) respectivamente, pois 5 e 6 estão à mesma distância de 3{,}5 que 2 e 1: f(5) = -2\quad\text{(ponto \((5,-2)\))},\qquad f(6) = -6\quad\text{(ponto \((6,-6)\))}.
Já tínhamos também as raízes mostradas no Passo 2: (3,0) e (4,0).

Passo 8

Instruções práticas para desenhar o gráfico (o que desenhar no papel em ordem):
  1. Desenhe os eixos x e y com escala compatível (marcar 1 em 1 é suficiente aqui).
  2. Trace a linha do eixo de simetria x=\dfrac{7}{2} como linha pontilhada (opcional) — ajuda a colocar pontos simétricos.
  3. Marque o vértice \left(\dfrac{7}{2},\dfrac{1}{4}\right) e note que é o ponto mais alto.
  4. Marque as raízes (3,0) e (4,0).
  5. Marque o intercepto com y: (0,-12).
  6. Marque os pontos (1,-6), (2,-2), (5,-2), (6,-6) para dar forma à curva.
  7. Desenhe suavemente uma parábola que passa por esses pontos, abrindo para baixo, com máximo no vértice.
    Dica para prova: ao desenhar rápido, bastam vértice + duas raízes + um ponto adicional para garantir a forma correta.

Passo 9

Resumo rápido das propriedades verificadas (útil para revisar antes da prova):
  • raízes: x=3 e x=4;
  • vértice: \left(\dfrac{7}{2},\dfrac{1}{4}\right);
  • forma de vértice: f(x) = -\bigl(x-\tfrac{7}{2}\bigr)^{2} + \tfrac{1}{4};
  • intercepto em y: \left(0,-12\right);
  • concavidade: para baixo (máximo no vértice);
  • pontos adicionais para plotar: \left(1,-6\right),\left(2,-2\right),\left(5,-2\right),\left(6,-6\right).

Resposta

Vértice: \left(\dfrac{7}{2},\dfrac{1}{4}\right)
Eixo de simetria: x=\dfrac{7}{2}
Raízes: x=3 e x=4 (pontos (3,0) e (4,0))
Intercepto em y: (0,-12)
Forma de vértice: f(x) = -\bigl(x-\tfrac{7}{2}\bigr)^{2} + \tfrac{1}{4}
Concavidade: abre para baixo (vértice é máximo)

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