Construa o gráfico das seguintes funções de mathbb{R} em \mathbb{R}.
f(x)=\left\{\begin{array}{l}4, \text { se } x>1 \\\ x^{2}+x-2, \text { se }-2 \leq x \leq 1 \\\ x+2, \text { se } x<-2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede: construir (desenhar) o gráfico da função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definida por partes \[f(x)=\begin{cases} 4, & \text{se } x>1,\\[4pt] x^{2}+x-2, & \text{se } -2\le x\le 1,\\[4pt] x+2, & \text{se } x<-2. \end{cases}
Informações importantes dadas:
  • Há três ramos: um ramo constante para x>1\], um ramo quadrático no intervalo fechado \([-2,1] e um ramo linear para x<-2.
  • O objetivo é desenhar cada ramo no seu domínio e indicar claramente pontos de continuidade/descontinuidade (círculos abertos/fechados nos limites dos intervalos).]

Passo 2

Analisar o ramo quadrático \;g(x)=x^{2}+x-2\; em [-2,1]. Primeiro fatorar para achar raízes:
x^{2}+x-2=(x+2)(x-1).
Portanto as raízes são \;x=-2\; e \;x=1\;. Isso significa que nos extremos do intervalo fechado:
g(-2)=0,\qquad g(1)=0.
O vértice da parábola (ponto de mínimo, pois o coeficiente de x^{2} é positivo) está em
x_V=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2},
onde a=1 e b=1. O valor no vértice é
g\!\left(-\tfrac{1}{2}\right)=\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{2}+\left(-\tfrac{1}{2}\right)-2= \tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{2}-2=-\tfrac{9}{4}=-2{,}25.
Resumo do ramo quadrático:
  • Domínio do ramo: [-2,1] (ambos extremos incluídos).
  • Zeros em ( -2,0 ) e (1,0).
  • Mínimo em \left(-\tfrac{1}{2}, -\tfrac{9}{4}\right).
  • A parábola decresce em [-2,-\tfrac{1}{2}] e cresce em [-\tfrac{1}{2},1].

Passo 3

Analisar o ramo linear \;h(x)=x+2\; para x<-2.
  • É uma reta de coeficiente angular 1 (sobe 1 unidade em y para cada 1 em x) e intercepto em y igual a 2 quando x=0, mas só interessam os x<-2.
  • Valores úteis: h(-2)=0 (limite vindo da esquerda quando x\to-2^-); h(-3)=-1; h(-4)=-2.
  • Como o domínio desse ramo exclui x=-2, o ponto (-2,0) será para este ramo um ponto de aproximação (círculo aberto), mas pode ser fechado pelo ramo central se o ramo central o definir.

Passo 4

Analisar o ramo constante \;c(x)=4\; para x>1.
  • É a reta horizontal y=4 para todos os x>1.
  • Para x=1 este ramo não está definido (domínio é x>1), então no ponto x=1 teremos um círculo aberto do ramo constante: (1,4) aberto.
  • Exemplos: c(2)=4,\; c(3)=4, etc.

Passo 5

Verificar continuidade e valores nos pontos de transição x=-2 e x=1.
Para x=-2:
  • Limite pela esquerda: \lim_{x\to-2^-}h(x)=\lim_{x\to-2^-}(x+2)=0.
  • Valor no ramo central: g(-2)=0 (o ramo quadrático está definido em -2).
  • Limite pela direita: \lim_{x\to-2^+}g(x)=g(-2)=0.
    Conclusão: o valor em x=-2 é 0 e a função é contínua em x=-2. No gráfico, coloque um ponto fechado (preenchido) em (-2,0).
Para x=1:
  • Limite pela esquerda: \lim_{x\to1^-}g(x)=g(1)=0.
  • Valor no ramo central: g(1)=0 (a função está definida em 1 pelo ramo quadrático).
  • Limite pela direita: \lim_{x\to1^+}c(x)=4.
    Conclusão: há uma descontinuidade por salto em x=1. No gráfico coloque um ponto fechado em (1,0) (valor da função) e um círculo aberto em (1,4) indicando que o ramo y=4 começa imediatamente à direita de x=1 mas não inclui x=1.

Passo 6

Pontos adicionais para desenhar com precisão (todos expressos como pares (x,y)):
  • Ramo linear ( x<-2): por exemplo (-3,-1), (-4,-2). Aproxima-se de (-2,0) vindo da esquerda (círculo aberto em (-2,0) neste ramo, mas fechado pelo ramo central).
  • Ramo quadrático ( -2\le x\le1): pontos notáveis (-2,0), (-1,-2), \left(-\tfrac{1}{2},-\tfrac{9}{4}\right), (0,-2), (1,0).
  • Ramo constante ( x>1): por exemplo (1^+,4) (círculo aberto em (1,4)), (2,4), (3,4).

Passo 7

Como desenhar passo a passo na folha:
  1. Trace os eixos e marque uma escala razoável em x e y (por exemplo unidades inteiras).
  2. Marque e desenhe o segmento da parábola do ponto (-2,0) até (1,0), passando pelo vértice \left(-\tfrac{1}{2}, -\tfrac{9}{4}\right). Coloque pontos preenchidos em (-2,0) e (1,0) porque o segmento quadrático inclui esses extremos.
  3. Desenhe a reta y=x+2 apenas para x<-2. Faça-a passar por pontos como (-3,-1), (-4,-2) e aproxime-a ao ponto (-2,0). No ponto (-2,0) desta reta use um círculo aberto (já que -2 não pertence ao domínio desse ramo); entretanto, como o ramo quadrático inclui (-2,0), coloque o ponto preenchido do ramo quadrático sobrepondo ali.
  4. Desenhe a linha horizontal y=4 apenas para x>1. Indique um círculo aberto em (1,4) e continue a linha para a direita com y=4.
  5. Rotule os pontos importantes: (-2,0), (1,0), \left(-\tfrac{1}{2}, -\tfrac{9}{4}\right) e o círculo aberto em (1,4).

Resposta

Gráfico de f:
  • Para x<-2: reta y=x+2, aproximando-se de (-2,0) (círculo aberto desse ramo) e passando por pontos como (-3,-1), (-4,-2).
  • Em x=-2: ponto da função (-2,0) (fechado), pois o ramo quadrático define f(-2)=0.
  • Para -2\le x\le1: segmento da parábola y=x^{2}+x-2 com zeros em (-2,0) e (1,0) e vértice em \left(-\tfrac{1}{2}, -\tfrac{9}{4}\right).
  • Em x=1: ponto da função (1,0) (fechado). Há salto à direita.
  • Para x>1: linha horizontal y=4 com círculo aberto em (1,4) e contínua para a direita.

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