Determine a solução geral da equação diferencial:
.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da recorrência linear não-homogênea de segunda ordem
Informações dadas:
Não foram fornecidas condições iniciais (portanto a solução terá constantes arbitrárias). A tarefa é encontrar a expressão geral de
válida para todo
.
Passo 2
Primeiro vamos resolver a equação homogênea associada (ou seja, sem o termo do lado direito). A homogênea é
Técnica: buscamos soluções da forma
. Substituindo na homogênea obtemos a equação característica
Resolvendo essa quadrática:
portanto as raízes são
e
. Como as raízes são distintas, a solução geral da homogênea é a combinação linear
onde
e
são constantes arbitrárias (serão determinadas se tivermos condições iniciais).
Observação curta sobre a ideia: assumir
transforma a recorrência linear com coeficientes constantes numa equação polinomial (a característica); as raízes dessa característica geram as potências que compõem a solução homogênea.
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular
da recorrência completa com o termo não-homogêneo
.
Método: coeficientes indeterminados. Regra prática: se o termo do lado direito é do tipo constante vezes (aqui
), então tentamos uma forma
. Mas se
for raiz da equação característica de multiplicidade
, multiplicamos por
. Aqui
é raiz da característica (vimos
), com multiplicidade
. Logo devemos tentar a forma
Método: coeficientes indeterminados. Regra prática: se o termo do lado direito é do tipo constante vezes
com
desconhecido. (Explicando: multiplicamos por
porque
já aparece na solução homogênea; sem multiplicar por
teríamos redundância.)
Passo 4
Calculemos
e
para substituir na recorrência. Com
temos
Substituindo na expressão da recorrência à esquerda:
Fatoramos
para simplificar:
Agora calculamos o conteúdo do colchete passo a passo:
Somando:
Portanto a expressão inteira vira
Portanto a expressão inteira vira
Passo 5
Para que
seja uma solução particular deve valer
para todo
. Cancelando
(que nunca é zero), obtemos
Passo 6
Portanto a solução particular encontrada é
Juntando com a solução homogênea, a solução geral da recorrência é a soma das duas partes:
Podemos reorganizar se quisermos:
onde
e
são constantes arbitrárias (determinaríamos se tivéssemos condições iniciais).
Resposta
onde
e
são constantes arbitrárias.