Determine a solução geral da equação diferencial:
x_{n+2}-5 x_{n+1}+6 x_{n}=2^{n}.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da recorrência linear não-homogênea de segunda ordem
x_{n+2}-5x_{n+1}+6x_n=2^{n}.
Informações dadas:
\text{recorrência: }x_{n+2}-5x_{n+1}+6x_n=2^{n}.ê
Não foram fornecidas condições iniciais (portanto a solução terá constantes arbitrárias). A tarefa é encontrar a expressão geral de x_n válida para todo n.

Passo 2

Primeiro vamos resolver a equação homogênea associada (ou seja, sem o termo do lado direito). A homogênea é
x_{n+2}-5x_{n+1}+6x_n=0.
Técnica: buscamos soluções da forma \;x_n=r^n\;. Substituindo na homogênea obtemos a equação característica
r^2-5r+6=0.
Resolvendo essa quadrática:
r^2-5r+6=(r-2)(r-3)=0,
portanto as raízes são \;r=2 e \;r=3. Como as raízes são distintas, a solução geral da homogênea é a combinação linear
x_n^{(h)}=A\;2^n + B\;3^n,
onde A e B são constantes arbitrárias (serão determinadas se tivermos condições iniciais).
Observação curta sobre a ideia: assumir x_n=r^n transforma a recorrência linear com coeficientes constantes numa equação polinomial (a característica); as raízes dessa característica geram as potências que compõem a solução homogênea.

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular x_n^{(p)} da recorrência completa com o termo não-homogêneo 2^n.
Método: coeficientes indeterminados. Regra prática: se o termo do lado direito é do tipo constante vezes \lambda^n (aqui \lambda=2), então tentamos uma forma C\lambda^n. Mas se \lambda for raiz da equação característica de multiplicidade m, multiplicamos por n^m. Aqui \lambda=2 é raiz da característica (vimos r=2), com multiplicidade 1. Logo devemos tentar a forma
x_n^{(p)} = C\,n\,2^n,
com C desconhecido. (Explicando: multiplicamos por n porque 2^n já aparece na solução homogênea; sem multiplicar por n teríamos redundância.)

Passo 4

Calculemos x_{n+1}^{(p)} e x_{n+2}^{(p)} para substituir na recorrência. Com x_n^{(p)}=C n 2^n temos
x_{n+1}^{(p)}=C (n+1) 2^{n+1},
x_{n+2}^{(p)}=C (n+2) 2^{n+2}.
Substituindo na expressão da recorrência à esquerda:
x_{n+2}^{(p)}-5x_{n+1}^{(p)}+6x_n^{(p)} = C\big[(n+2)2^{n+2}-5(n+1)2^{n+1}+6n2^{n}\big].
Fatoramos 2^n para simplificar:
= C\,2^n\big[(n+2)2^2 -5(n+1)2 +6n\big].
Agora calculamos o conteúdo do colchete passo a passo:
(n+2)2^2 = (n+2)\cdot 4 = 4n+8,
-5(n+1)2 = -10n -10,
6n = 6n.
Somando: (4n+8)+(-10n-10)+(6n)=4n-10n+6n +8-10 = 0n -2 = -2.
Portanto a expressão inteira vira
x_{n+2}^{(p)}-5x_{n+1}^{(p)}+6x_n^{(p)} = C\,2^n(-2) = -2C\,2^n.

Passo 5

Para que x_n^{(p)} seja uma solução particular deve valer
-2C\,2^n = 2^n
para todo n. Cancelando 2^n (que nunca é zero), obtemos
-2C = 1 \quad\Rightarrow\quad C = -\tfrac{1}{2}.

Passo 6

Portanto a solução particular encontrada é
x_n^{(p)} = -\tfrac{1}{2}\,n\,2^n.
Juntando com a solução homogênea, a solução geral da recorrência é a soma das duas partes:
x_n = x_n^{(h)} + x_n^{(p)} = A\,2^n + B\,3^n -\tfrac{1}{2}\,n\,2^n.
Podemos reorganizar se quisermos:
x_n = \big(A - \tfrac{n}{2}\big)2^n + B\,3^n,
onde A e B são constantes arbitrárias (determinaríamos se tivéssemos condições iniciais).

Resposta

x_n = A\,2^n + B\,3^n -\tfrac{1}{2}\,n\,2^n,
onde A e B são constantes arbitrárias.

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