Construa os gráficos das funções, de cada item, em uma mesma tela do geogebra e diga como eles estão relacionados.
y=\log _{1,5} x, \quad y=\ln x, \quad y=\log _{10} x, \quad y=\log _{50} x

Passo 1

O enunciado pede para traçar no GeoGebra, simultaneamente, as quatro funções
y=\log_{1,5}x,\quad y=\ln x,\quad y=\log_{10}x,\quad y=\log_{50}x
e descrever como elas se relacionam. O conteúdo é logaritmos de bases distintas e vamos usar a mudança de base para comparar as curvas.

Passo 2

Usamos a mudança de base para escrever cada função em termos de \ln x:
\log_{b}x = \frac{\ln x}{\ln b}.
Logo, denotando f_{b}(x)=\log_{b}x, temos
f_{b}(x)=\frac{1}{\ln b}\,\ln x.

Passo 3

Como \ln b>0 para b>1, cada f_{b}(x) é crescente em (0,\infty) e satisfaz
\lim_{x\to0^+}f_{b}(x)=-\infty, \qquad \lim_{x\to\infty}f_{b}(x)=+\infty,
além de todas passarem por (1,0).

Passo 4

O fator de escala vertical é \frac1{\ln b}. Para as bases dadas:
\ln(1,5)\approx0,405,\quad \ln(e)=1,\quad \ln(10)\approx2,302,\quad \ln(50)\approx3,912,
portanto
\frac1{\ln(1,5)}\approx2,47,\quad \frac1{\ln(e)}=1,\quad \frac1{\ln(10)}\approx0,43,\quad \frac1{\ln(50)}\approx0,26.

Passo 5

Na prática, ao plotar no GeoGebra:
  • Todas as curvas têm a mesma forma de “S” suave, divergindo para -\infty em x\to0^+ e para +\infty em x\to\infty.
  • Elas se cruzam no ponto (1,0).
  • A ordem vertical para x>1 (e análoga para 0<x<1, invertida em sinal) é
\log_{1,5}x \;>\; \ln x \;>\; \log_{10}x \;>\; \log_{50}x,
porque \tfrac1{\ln(1,5)}>\tfrac1{\ln(e)}> \tfrac1{\ln(10)}>\tfrac1{\ln(50)}.

Resposta

As quatro funções são dilatações verticais da curva básica y=\ln x com fatores \tfrac1{\ln b}. Como \ln(1,5)<\ln(e)<\ln(10)<\ln(50), a curva de base menor 1,5 fica mais “esticada” para cima em x>1, seguida por \ln x, \log_{10}x e \log_{50}x.

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