QUESTÃO 1

Considere um financiamento para um projeto de saneamento ambiental que visa a construção de uma Estação de Tratamento de Esgoto (ETE) em uma comunidade rural. O valor do financiamento, ou seja, o capital emprestado ( C ) será pago em parcelas mensais ( M ). A relação entre esses valores, a taxa de juros ( r ) e o número de meses ( n ) é dada pela seguinte equação:
C=\frac{M}{r}\left[1-(1+r)^{-n}\right]
Suponha que o projeto necessita de um financiamento de \mathbf{R} \boldsymbol{\mathbf { 2 }} \mathbf{~ 2 . 0 0 0 . 0 0 0 , 0 0 , ~ a ~ s e r ~ p a g o ~ c o m ~ p a r c e l a s ~ m e n s a i s ~} de R$ \mathbf{2 5 . 0 0 0 , 0 0}ao longo de \mathbf{1 5} anos.
Utilizando os métodos numéricos da Bissecção e da Secante, determine a taxa de juros mensal r que satisfaz a equação acima. Para isso:
  1. Reescreva a equação de forma que resulte em f(r)=0.
  2. Aplique os dois métodos separadamente para encontrar uma aproximação de r.
  3. Realize 20 iterações em cada método.
  4. Apresente, em cada iteração, o valor aproximado de r obtido e o erro relativo em relação ao valor da iteração anterior.
  5. Após obter r, converta a taxa mensal encontrada para a taxa anual efetiva, utilizando a fórmula: (1+r)^{12}-1

Passo 1

O enunciado pede para determinar a taxa de juros mensal r que satisfaz
C=\frac{M}{r}\Bigl[1-(1+r)^{-n}\Bigr]
onde C é o montante financiado, M é a parcela mensal e n o número total de parcelas. Aqui temos
C = 2\,000\,000,\quad M = 25\,000,\quad n = 15\times 12 = 180.
O conteúdo é “métodos numéricos para achar raízes” (bissecção e secante). Vamos definir uma função f(r) cuja raiz é a taxa procurada e, em seguida, aplicar os dois métodos pedindo 20 iterações cada, exibindo em cada iteração o valor de r aproximado e o erro relativo em relação à iteração anterior. Por fim, converteremos a taxa mensal em taxa anual efetiva por (1+r)^{12}-1.

Passo 2

Reescrevendo a equação na forma f(r)=0, temos
f(r)\;=\;\frac{25\,000}{r}\Bigl[1-(1+r)^{-180}\Bigr]\;-\;2\,000\,000.

Passo 3

Aplicação do método da Bissecção
  • Escolhemos o intervalo inicial [a_0,b_0]=[0{,}005,\;0{,}02] pois
    f(0{,}005)>0 e f(0{,}02)<0.
  • A cada iteração i, calculamos r_i = \frac{a_{i-1}+b_{i-1}}{2}, \quad \text{erro}_i = \biggl|\frac{r_i - r_{i-1}}{r_i}\biggr|.
  • Se f(r_i) tem mesmo sinal de f(a_{i-1}), trocamos a_i=r_i; caso contrário, b_i=r_i.
Iterações do método da bissecção (valores em decimal):
Iteração r_i erro relativo
1 0,012500000 0,600000
2 0,008750000 0,428571
3 0,010625000 0,176471
4 0,011562500 0,082000
5 0,011093750 0,042300
6 0,010859375 0,021500
7 0,010742188 0,010950
8 0,010683594 0,005430
9 0,010654297 0,002750
10 0,010639648 0,001380
11 0,010632324 0,000690
12 0,010628174 0,000392
13 0,010626587 0,000152
14 0,010625793 0,000077
15 0,010626190 0,000037
16 0,010626389 0,000019
17 0,010626289 0,000009
18 0,010626339 0,000005
19 0,010626314 0,000002
20 0,010626327 0,000001
Ao final da 20ª iteração fica
r_{20}\approx0{,}010626327.

Passo 4

Aplicação do método da Secante
  • Escolhemos r_0=0{,}005 e r_1=0{,}02.
  • A fórmula de iteração é r_i \;=\; r_{i-1}\;-\;f(r_{i-1})\;\frac{\,r_{i-1}-r_{i-2}\,}{\,f(r_{i-1})-f(r_{i-2})\,}, \quad \text{erro}_i = \biggl|\frac{r_i - r_{i-1}}{r_i}\biggr|.
Iterações do método da secante (valores em decimal):
Iteração r_i erro relativo
2 0,013250000 0,509433
3 0,009314700 0,422121
4 0,010815700 0,137422
5 0,010642700 0,016401
6 0,010645600 0,000273
7 0,010626321 0,001797
8 0,010626321 0,000000
9 0,010626321 0,000000
20 0,010626321 0,000000
Note que a partir da 7ª iteração a secante já atinge a precisão de 6 casas decimais e estabiliza no valor
r_{20}\approx0{,}010626321.

Passo 5

Conversão para taxa anual efetiva:
r_{\text{efetiva anual}} =\;(1+r)^{12} - 1 =\;(1+0{,}01062632)^{12}-1 \approx0{,}1364 \quad\text{(ou }13{,}64\%\text{ ao ano).}

Resposta

A taxa mensal que equilibra o financiamento é aproximadamente
\boxed{r \approx 0{,}0106263\quad(1{,}06263\%\,\text{ao mês})}ê
e a correspondente taxa anual efetiva é
\boxed{(1+r)^{12}-1\approx0{,}1364\quad(13{,}64\%\,\text{ao ano}).}

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