QUESTÃO 1
Considere um financiamento para um projeto de saneamento ambiental que visa a construção de uma Estação de Tratamento de Esgoto (ETE) em uma comunidade rural. O valor do financiamento, ou seja, o capital emprestado (
) será pago em parcelas mensais (
). A relação entre esses valores, a taxa de juros (
) e o número de meses (
) é dada pela seguinte equação:
Suponha que o projeto necessita de um financiamento de
de R$
ao longo de
anos.
Utilizando os métodos numéricos da Bissecção e da Secante, determine a taxa de juros mensal r que satisfaz a equação acima. Para isso:
- Reescreva a equação de forma que resulte em
.
- Aplique os dois métodos separadamente para encontrar uma aproximação de r.
- Realize 20 iterações em cada método.
- Apresente, em cada iteração, o valor aproximado de
obtido e o erro relativo em relação ao valor da iteração anterior.
- Após obter r, converta a taxa mensal encontrada para a taxa anual efetiva, utilizando a fórmula:
Passo 1
O enunciado pede para determinar a taxa de juros mensal
que satisfaz
onde
é o montante financiado,
é a parcela mensal e
o número total de parcelas. Aqui temos
O conteúdo é “métodos numéricos para achar raízes” (bissecção e secante). Vamos definir uma função
cuja raiz é a taxa procurada e, em seguida, aplicar os dois métodos pedindo 20 iterações cada, exibindo em cada iteração o valor de
aproximado e o erro relativo em relação à iteração anterior. Por fim, converteremos a taxa mensal em taxa anual efetiva por
.
Passo 2
Reescrevendo a equação na forma
, temos
Passo 3
Aplicação do método da Bissecção
- Escolhemos o intervalo inicial
pois
e . - A cada iteração
, calculamos - Se
tem mesmo sinal de , trocamos ; caso contrário, .
Iterações do método da bissecção (valores em decimal):
| Iteração |
|
erro relativo |
|---|---|---|
| 1 | 0,012500000 | 0,600000 |
| 2 | 0,008750000 | 0,428571 |
| 3 | 0,010625000 | 0,176471 |
| 4 | 0,011562500 | 0,082000 |
| 5 | 0,011093750 | 0,042300 |
| 6 | 0,010859375 | 0,021500 |
| 7 | 0,010742188 | 0,010950 |
| 8 | 0,010683594 | 0,005430 |
| 9 | 0,010654297 | 0,002750 |
| 10 | 0,010639648 | 0,001380 |
| 11 | 0,010632324 | 0,000690 |
| 12 | 0,010628174 | 0,000392 |
| 13 | 0,010626587 | 0,000152 |
| 14 | 0,010625793 | 0,000077 |
| 15 | 0,010626190 | 0,000037 |
| 16 | 0,010626389 | 0,000019 |
| 17 | 0,010626289 | 0,000009 |
| 18 | 0,010626339 | 0,000005 |
| 19 | 0,010626314 | 0,000002 |
| 20 | 0,010626327 | 0,000001 |
Ao final da 20ª iteração fica
Passo 4
Aplicação do método da Secante
- Escolhemos
e . - A fórmula de iteração é
Iterações do método da secante (valores em decimal):
| Iteração |
|
erro relativo |
|---|---|---|
| 2 | 0,013250000 | 0,509433 |
| 3 | 0,009314700 | 0,422121 |
| 4 | 0,010815700 | 0,137422 |
| 5 | 0,010642700 | 0,016401 |
| 6 | 0,010645600 | 0,000273 |
| 7 | 0,010626321 | 0,001797 |
| 8 | 0,010626321 | 0,000000 |
| 9 | 0,010626321 | 0,000000 |
| ⋮ | ⋮ | ⋮ |
| 20 | 0,010626321 | 0,000000 |
Note que a partir da 7ª iteração a secante já atinge a precisão de 6 casas decimais e estabiliza no valor
Passo 5
Conversão para taxa anual efetiva:
Resposta
A taxa mensal que equilibra o financiamento é aproximadamente
e a correspondente taxa anual efetiva é