Exemplo 24. Calcule: \int_{0}^{2} F(t) d t, \operatorname{com} F(t)=\left(12 t^{3}, 4 e^{2 t},(t+1)^{-1}\right).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de um campo vetorial em uma dimensão, isto é,
\int_{0}^{2}F(t)\,dt,
onde
F(t)=\bigl(12\,t^{3},\,4\,e^{2t},\,(t+1)^{-1}\bigr).
O conteúdo aqui é a integral componente a componente de um vetor função. Para resolver, usaremos regras básicas de integração: potência, exponencial e logaritmo.

Passo 2

Pela propriedade de integrais de vetores temos
\int_{0}^{2}F(t)\,dt =\Bigl(\int_{0}^{2}12\,t^{3}\,dt,\;\int_{0}^{2}4\,e^{2t}\,dt,\;\int_{0}^{2}(t+1)^{-1}\,dt\Bigr).
Agora calculamos cada componente separadamente.

Passo 3

Para a primeira componente, use a regra da potência:
\int12\,t^{3}\,dt =12\cdot\frac{t^{4}}{4} =3\,t^{4}.
Avaliando de 0 a 2:
\int_{0}^{2}12\,t^{3}\,dt =3\,(2)^{4}-3\,(0)^{4} =3\cdot16 =48.

Passo 4

Para a segunda componente, use a integral de exponencial \int e^{at}dt=e^{at}/a:
\int4\,e^{2t}\,dt =4\cdot\frac{e^{2t}}{2} =2\,e^{2t}.
Avaliando de 0 a 2:
\int_{0}^{2}4\,e^{2t}\,dt =2\,e^{4}-2\,e^{0} =2\,(e^{4}-1).

Passo 5

Para a terceira componente, usamos \int(t+1)^{-1}dt=\ln|t+1|:
\int(t+1)^{-1}\,dt =\ln|t+1|.
Avaliando de 0 a 2:
\int_{0}^{2}(t+1)^{-1}\,dt =\ln(3)-\ln(1) =\ln(3).

Resposta

\int_{0}^{2}F(t)\,dt =\bigl(48,\;2\,(e^{4}-1),\;\ln(3)\bigr).

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