Construa os gráficos das funções a seguir.
f(x)=arcsec(x)

Passo 1

Estamos desenhando o gráfico da função , que pertence ao conteúdo de funções trigonométricas inversas. Para isso, vamos precisar da definição de , do domínio e da imagem dessa função e da relação dela com f(x)=arcsec(x).

Passo 2

Definimos como a inversa da função arcsec(x) restrita ao intervalo sec(x). Em particular, vale a identidade

Passo 3

Analisamos o domínio e a imagem. Como sec(x) só assume valores <= -1 ou >= 1, seu inverso satisfaz
x<= -1 ou x>= 1.
Então o domínio é arccos. A imagem de [0,pi]setminustfracpi2 no intervalo escolhido é
arccos, pois tfracpi2 nunca atinge 1/x para finito.

Passo 4

Para o ramo x>= 1: conforme x aumenta de 1 a +infty, temos 1/x decrescendo de 1 a 0, então
f(x)=arccos(1/x) cresce de arccos(1)=0 até o limite arccos(0)=tfracpi2. Logo há um ramo suave no primeiro quadrante partindo do ponto (1,0) e tendendo assintoticamente a y=tfracpi2.

Passo 5

Para o ramo x<= -1: conforme x vai de -infty a -1, 1/x vai de 0 a -1, então
f(x)=arccos(1/x) cresce de arccos(0)=tfracpi2 até arccos(-1)=pi. Assim aparece um ramo no segundo quadrante terminando em (-1,pi) e também assintótico a y=tfracpi2 quando xto-infty.

Passo 6

Em resumo, o gráfico de tem dois ramos: um para f(x)=arcsec(x) subindo de x>=1 até a assíntota (1,0), e outro para y=tfracpi2 subindo de x<=-1 até o ponto y=tfracpi2.

Resposta

O gráfico de é formado por duas curvas:
  • Para f(x)=arcsec(x): parte no ponto (1,0) e sobe suavemente, aproximando-se assintoticamente de x>=1 quando y=tfracpi2.
  • Para xto+infty: parte assintoticamente de x<=-1 quando y=tfracpi2 e chega ao ponto (-1,\pi).
    O domínio é xto-infty e a imagem é xin(-infty,-1]cup[1,infty).

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