Construa os gráficos das funções a seguir.
Passo 1
Estamos desenhando o gráfico da função , que pertence ao conteúdo de funções trigonométricas inversas. Para isso, vamos precisar da definição de , do domínio e da imagem dessa função e da relação dela com
.
Passo 2
Definimos como a inversa da função
restrita ao intervalo
. Em particular, vale a identidade
Passo 3
Analisamos o domínio e a imagem. Como
só assume valores
ou
, seu inverso satisfaz
ou
.
Então o domínio é . A imagem de
no intervalo escolhido é
, pois
nunca atinge
para
finito.
Então o domínio é
Passo 4
Para o ramo
: conforme
aumenta de 1 a
, temos
decrescendo de 1 a 0, então
cresce de
até o limite
. Logo há um ramo suave no primeiro quadrante partindo do ponto
e tendendo assintoticamente a
.
Passo 5
Para o ramo
: conforme
vai de
a
,
vai de 0 a
, então
cresce de
até
. Assim aparece um ramo no segundo quadrante terminando em
e também assintótico a
quando
.
Passo 6
Em resumo, o gráfico de tem dois ramos: um para
subindo de
até a assíntota
, e outro para
subindo de
até o ponto
.
Resposta
O gráfico de é formado por duas curvas:
- Para
: parte no ponto (1,0) e sobe suavemente, aproximando-se assintoticamente de quando . - Para
: parte assintoticamente de quando e chega ao ponto (-1,\pi).
O domínio ée a imagem é .