Construa os gráficos das funções a seguir.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função f(x)=x sen x. Isso é um problema de análise de gráfico de funções elementares, em que vamos precisar identificar domínio, zeros, comportamento próximo à origem, pontos notáveis e curvas-envelope.
Passo 2
O domínio de f é todo o conjunto dos reais, Dom(f)=ℝ. As raízes (zeros) ocorrem quando x sen x=0, ou seja, sempre que x=0 ou sen x=0. Como sen x=0 em x=kπ, temos zeros em x=kπ, para todo inteiro k.
Passo 3
Próximo à origem fazemos a expansão em série para entender o formato inicial. Lembrando que sen x≈x−x³/6+…, temos f(x)=x·sen x≈x·(x−x³/6)=x²−x^4/6. Logo, perto de x=0 o gráfico cresce como uma parábola f(x)≈x².
Passo 4
Vamos marcar alguns pontos importantes. Em x=π/2 temos
Em x=3π/2:
Em x=π e 2π, f retorna a zero, e assim sucessivamente.
Passo 5
Observando o comportamento para |x| grande, vemos que −|x|≤x sen x≤|x|. As retas y=x e y=−x formam as curvas-envelope entre as quais o gráfico oscila, com amplitude que cresce linearmente.
Passo 6
Juntando tudo, esboçamos o gráfico: ele passa pelos zeros x=kπ, atinge picos decrescentes entre as curvas y=x e y=−x, com o primeiro máximo em (π/2,π/2), primeiro mínimo em (3π/2,−3π/2), e segue esse padrão para x>0 e espelhado para x<0.
O esboço final mostra uma onda senoidal cujo valor atinge amplitude crescente em módulo, sempre tocando as retas y=±x como envelope.
O esboço final mostra uma onda senoidal cujo valor atinge amplitude crescente em módulo, sempre tocando as retas y=±x como envelope.
Resposta
O gráfico de f(x)=x sen x é uma curva oscilante que anula-se em x=kπ, com picos em x=(2n+1)π/2 de valor f=(2n+1)π/2 (positivo para n par, negativo para n ímpar), e que oscila entre as retas y=+x e y=−x, formando um “cinturão” de amplitude que cresce linearmente em |x|.