Obtenha as séries de Taylor de cada uma das funções abaixo em torno dos pontos z0 dados. Descreva a região de convergência.
1 / z ; z0=1

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Taylor de f(z)=1/z em torno de z0=1. Vamos usar a definição de série de Taylor e a série geométrica para funções da forma 1/(1+w).

Passo 2

Fazemos a mudança de variável w = z - 1, de modo que z = 1 + w. Assim
1z = 11 + w = 11 + (z-1)

Passo 3

Sabemos pela série geométrica que, para |w| < 1,
11+w = sumn=0^infty (-1)^n w^n

Passo 4

Voltando à variável z, obtemos
1z = sumn=0^infty (-1)^n (z - 1)^n

Passo 5

A região de convergência dessa série é o disco centrado em z0=1 de raio igual à distância até o polo em z=0, ou seja |z-1|<1.

Resposta

1z = sumn=0^infty (-1)^n (z - 1)^n, |z-1|<1

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