Construa os gráficos das seguintes funções periódicas. Adote períodos em termos de \pi.
2 \cos 2 t

Passo 1

O enunciado pede para desenhar o gráfico da função periódica x(t)=2\cos(2t).
Conteúdo: funções periódicas e propriedades de cosseno (amplitude, período, deslocamentos). Vamos precisar calcular a amplitude, o período e alguns pontos-chave para esboçar o gráfico.

Passo 2

A amplitude é o módulo do coeficiente de frente do cosseno. Aqui ela é
A = 2.
O argumento do cosseno é 2t. O período fundamental do cosseno padrão \cos(u) é 2\pi. Quando temos \cos(2t), o período T satisfaz
2\,(t+T) - 2t = 2\pi \quad\Longrightarrow\quad 2T = 2\pi \quad\Longrightarrow\quad T = \pi.

Passo 3

Para esboçar, vamos marcar pontos em um período [0,\pi]:
  1. Em t=0:
x(0)=2\cos(0)=2\cdot1=2.
  1. Em t=\tfrac{\pi}{4}:
x\Bigl(\tfrac{\pi}{4}\Bigr) =2\cos\bigl(2\cdot\tfrac{\pi}{4}\bigr) =2\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) =2\cdot0=0.
  1. Em t=\tfrac{\pi}{2}:
x\Bigl(\tfrac{\pi}{2}\Bigr) =2\cos\bigl(2\cdot\tfrac{\pi}{2}\bigr) =2\cos(\pi) =2\cdot(-1)=-2.
  1. Em t=\tfrac{3\pi}{4}:
x\Bigl(\tfrac{3\pi}{4}\Bigr) =2\cos\bigl(2\cdot\tfrac{3\pi}{4}\bigr) =2\cos\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr) =2\cdot0=0.
  1. Em t=\pi:
x(\pi)=2\cos(2\pi)=2\cdot1=2,
que fecha o ciclo.

Passo 4

Esboce o gráfico unindo suavemente esses pontos com a forma de uma onda cossenoidal:
  • Máximo de 2 em t=0 e t=\pi.
  • Cruzamento em zero nos instantes t=\tfrac{\pi}{4} e t=\tfrac{3\pi}{4}.
  • Mínimo de -2 em t=\tfrac{\pi}{2}.
Para alguns períodos a mais, repita esse padrão a cada deslocamento de \pi unidades em t.

Resposta

O gráfico de x(t)=2\cos(2t) é uma onda cossenoidal com amplitude 2 e período \pi. Ela atinge seus picos +2 em t=k\pi e vale -2 em t=\tfrac{\pi}{2}+k\pi, passando por zero em t=\tfrac{\pi}{4}+k\pi e t=\tfrac{3\pi}{4}+k\pi, para todo inteiro k.

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