Construa os gráficos das seguintes funções periódicas. Adote períodos em termos de \pi.
\operatorname{sen} t

Passo 1

O enunciado pede para construir o gráfico da função periódica \sin t. O conteúdo aqui é “funções periódicas elementares”: vamos precisar saber a amplitude, o período e os pontos notáveis de \sin t para um período típico.

Passo 2

Calcular amplitude e período de \sin t:
A amplitude é o valor máximo em módulo, ou seja,
\max_{t}|\sin t| = 1.
O período fundamental T satisfaz
\sin(t+T)=\sin t,
logo T=2\pi.

Passo 3

Identificar os pontos-chave em um período 0\le t\le 2\pi. Montamos a tabela de valores:
\begin{aligned} t &= 0,& \sin t &= 0,\\\ t &= \tfrac{\pi}{2},& \sin t &= 1,\\\ t &= \pi,& \sin t &= 0,\\\ t &= \tfrac{3\pi}{2},& \sin t &= -1,\\\ t &= 2\pi,& \sin t &= 0. \end{aligned}
Entre esses pontos, a curva é suave e possui pontos de inflexão em t=\tfrac\pi4,\tfrac{3\pi}4,\tfrac{5\pi}4,\tfrac{7\pi}4.

Passo 4

Descrever o esboço do gráfico:
– No eixo horizontal marque 0,\tfrac{\pi}{2},\pi,\tfrac{3\pi}{2},2\pi.
– No eixo vertical marque -1 e 1.
– Trace os pontos da tabela e ligue-os com uma curva ondulada que sobe de (0,0) até \bigl( \tfrac{\pi}{2},1\bigr), desce passando em (\pi,0) até \bigl( \tfrac{3\pi}{2},-1\bigr) e retorna a (2\pi,0).
– Repita esse padrão para a esquerda e para a direita, com período 2\pi.

Resposta

O gráfico de \sin t é uma onda senoidal de amplitude 1 e período 2\pi, com zeros em t=k\pi, máximos iguais a 1 em t=\tfrac\pi2+2k\pi e mínimos iguais a -1 em t=\tfrac{3\pi}2+2k\pi, onde k\in\mathbb{Z}.

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