1- Mostre que
é solução da equação diferencial
para
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é solução da equação diferencial
é solução da equação diferencial
quando
.
O conteúdo aqui é equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes, usando o ansatz exponencial complexo.
O conteúdo aqui é equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes, usando o ansatz exponencial complexo.
Passo 2
Assumimos a forma de solução
onde
e
são constantes. Esse tipo de solução é natural para equações lineares com coeficientes constantes, pois a derivada de uma exponencial é proporcional à própria exponencial.
Passo 3
Calculamos a primeira derivada de
:
Passo 4
Em seguida, calculamos a segunda derivada:
Passo 5
Note que
, logo
Se definirmos
, então essa relação é exatamente
a equação diferencial original. Portanto,
é solução quando
.