1- Mostre que x=B e^{-i w t} é solução da equação diferencial \ddot{x}=-\omega^{2} x para \omega=w.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que \displaystyle x(t)=B\,e^{-i w t}
é solução da equação diferencial
\ddot{x}=-\omega^{2}x
quando \omega = w.
O conteúdo aqui é equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes, usando o ansatz exponencial complexo.

Passo 2

Assumimos a forma de solução
x(t)=B\,e^{-i w t},
onde B e w são constantes. Esse tipo de solução é natural para equações lineares com coeficientes constantes, pois a derivada de uma exponencial é proporcional à própria exponencial.

Passo 3

Calculamos a primeira derivada de x(t):
\dot{x}(t) =\frac{d}{dt}\bigl[B\,e^{-i w t}\bigr] =-i\,w\,B\,e^{-i w t}.

Passo 4

Em seguida, calculamos a segunda derivada:
\ddot{x}(t) =\frac{d}{dt}\bigl[-i\,w\,B\,e^{-i w t}\bigr] =(-i\,w)^2\,B\,e^{-i w t} =-w^2\,B\,e^{-i w t}.

Passo 5

Note que B\,e^{-i w t}=x(t), logo
\ddot{x}(t)=-w^2\,x(t).
Se definirmos \omega=w, então essa relação é exatamente
\ddot{x}=-\omega^2\,x,
a equação diferencial original. Portanto, x(t)=B\,e^{-i w t} é solução quando \omega=w.

Resposta

x(t)=B\,e^{-i w t} satisfaz \ddot{x}=-\omega^{2}x para \omega=w.

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