Construa uma matriz 3 por 3 cujo espaço coluna contém (1,1,0) e (1,0,1) mas não (1,1,1). Construa uma matriz 3 por 3 cujo espaço coluna é uma reta.

Passo 1

O enunciado pede duas construções de matrizes 3times3. Na primeira, queremos uma matriz A cujo espaço coluna (ou seja, o subespaço gerado por suas colunas) contenha os vetores
v1 = (1,1,0), v2=(1,0,1)
mas não contenha
v3=(1,1,1)
Na segunda, queremos uma matriz B de modo que o espaço coluna de B seja exatamente uma reta (ou seja, tenha dimensão 1). Para resolver, usaremos conceitos de combinação linear, posto e escolha explícita de colunas.

Passo 2

Para que e estejam no espaço coluna de , basta torná-los colunas de . Para garantir que não esteja no espaço coluna, basta manter o espaço coluna de dimensão gerado apenas por e . Uma escolha simples é colocar
pois isso faz com que
e não acrescente nenhum outro vetor.

Passo 3

Verificamos que
Isso dá o sistema
que exige e simultaneamente , o que é impossível. Logo não está no espaço coluna.

Passo 4

Para construir uma matriz cujo espaço coluna seja uma reta, basta escolher todas as colunas como múltiplos de um mesmo vetor não nulo . Por exemplo, tomemos
e definamos
Então
é de dimensão , ou seja, uma reta.

Resposta

A primeira matriz é
cujo espaço coluna é e não contém .
A segunda matriz é
cujo espaço coluna é a reta .

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