Construa uma matriz 3 por 3 cujo espaço coluna contém e mas não . Construa uma matriz 3 por 3 cujo espaço coluna é uma reta.
Passo 1
O enunciado pede duas construções de matrizes . Na primeira, queremos uma matriz cujo espaço coluna (ou seja, o subespaço gerado por suas colunas) contenha os vetores
mas não contenha
Na segunda, queremos uma matriz de modo que o espaço coluna de seja exatamente uma reta (ou seja, tenha dimensão ). Para resolver, usaremos conceitos de combinação linear, posto e escolha explícita de colunas.
Passo 2
Para que e estejam no espaço coluna de , basta torná-los colunas de . Para garantir que não esteja no espaço coluna, basta manter o espaço coluna de dimensão gerado apenas por e . Uma escolha simples é colocar
pois isso faz com que
e não acrescente nenhum outro vetor.
Passo 3
Verificamos que
Isso dá o sistema
que exige e simultaneamente , o que é impossível. Logo não está no espaço coluna.
Passo 4
Para construir uma matriz cujo espaço coluna seja uma reta, basta escolher todas as colunas como múltiplos de um mesmo vetor não nulo . Por exemplo, tomemos