Verdadeiro ou falso (com um contraexemplo se falso):
(a) Os vetores
que não estão no espaço coluna
formam um subespaço.
(b) Se
contém apenas o vetor zero, então
é a matriz zero.
(c) O espaço coluna de
é igual ao espaço coluna de
.
(d) O espaço coluna de
é igual ao espaço coluna de
.
(a) Os vetores
(b) Se
(c) O espaço coluna de
(d) O espaço coluna de
Passo 1
O enunciado pede para classificar como verdadeiro ou falso quatro afirmações sobre o espaço coluna de uma matriz
. O espaço coluna
é o subespaço gerado pelas colunas de
. Para cada item, vamos verificar se a propriedade se mantém para todo
ou apresentar um contraexemplo quando não for o caso.
Passo 2
(a) “Os vetores
que não estão em
formam um subespaço.”
Se fosse um subespaço, teria de conter o vetor zero, mas o zero está em e, portanto, não está no conjunto dos vetores que não estão em
. Por exemplo, se
for a matriz zero de tamanho
, então
Se fosse um subespaço, teria de conter o vetor zero, mas o zero está em
e o conjunto de vetores que não estão em
é
, que não contém o zero e nem é fechado sob soma. Logo, é falso.
Passo 3
(b) “Se
contém apenas o vetor zero, então
é a matriz zero.”
O espaço coluna é o span das colunas de . Se só aparece o vetor zero, cada coluna de
deve ser o vetor zero, logo todos os elementos de
são zero. Portanto, a afirmação é verdadeira.
O espaço coluna é o span das colunas de
Passo 4
(c) “O espaço coluna de
é igual ao espaço coluna de
.”
Multiplicar por escalar não nulo (aqui
) escala cada coluna, mas
Multiplicar
então
. A afirmação é verdadeira.
Passo 5
(d) “O espaço coluna de
é igual ao espaço coluna de
.”
Considere . Então
Considere
logo
, enquanto
. São diferentes, logo a afirmação é falsa.
Resposta
(a) Falso. Contraexemplo:
faz
e o complemento não é subespaço.
(b) Verdadeiro. Se só há o zero, todas as colunas são zero.
(c) Verdadeiro. Escalar não nulo não muda o span.
(d) Falso. Contraexemplo: dá
.
(b) Verdadeiro. Se só há o zero, todas as colunas são zero.
(c) Verdadeiro. Escalar não nulo não muda o span.
(d) Falso. Contraexemplo: