Verdadeiro ou falso (com um contraexemplo se falso):
(a) Os vetores b que não estão no espaço coluna C(A) formam um subespaço.
(b) Se C(A) contém apenas o vetor zero, então A é a matriz zero.
(c) O espaço coluna de 2 A é igual ao espaço coluna de A.
(d) O espaço coluna de A-I é igual ao espaço coluna de A.

Passo 1

O enunciado pede para classificar como verdadeiro ou falso quatro afirmações sobre o espaço coluna de uma matriz A. O espaço coluna C(A) é o subespaço gerado pelas colunas de A. Para cada item, vamos verificar se a propriedade se mantém para todo A ou apresentar um contraexemplo quando não for o caso.

Passo 2

(a) “Os vetores b que não estão em C(A) formam um subespaço.”
Se fosse um subespaço, teria de conter o vetor zero, mas o zero está em C(A) e, portanto, não está no conjunto dos vetores que não estão em C(A). Por exemplo, se A for a matriz zero de tamanho mtimes n, então
C(A)=0
e o conjunto de vetores que não estão em C(A) é R^msetminus0, que não contém o zero e nem é fechado sob soma. Logo, é falso.

Passo 3

(b) “Se C(A) contém apenas o vetor zero, então A é a matriz zero.”
O espaço coluna é o span das colunas de A. Se só aparece o vetor zero, cada coluna de A deve ser o vetor zero, logo todos os elementos de A são zero. Portanto, a afirmação é verdadeira.

Passo 4

(c) “O espaço coluna de 2A é igual ao espaço coluna de A.”
Multiplicar A por escalar não nulo (aqui 2) escala cada coluna, mas
span2,a1,dots,2,an =spana1,dots,an,
então ,C(2A)=C(A). A afirmação é verdadeira.

Passo 5

(d) “O espaço coluna de A-I é igual ao espaço coluna de A.”
Considere A=In. Então
A-I=In-In=0,
logo C(A-I)=0, enquanto C(In)= R^n. São diferentes, logo a afirmação é falsa.

Resposta

(a) Falso. Contraexemplo: A=0 faz C(A)=0 e o complemento não é subespaço.
(b) Verdadeiro. Se só há o zero, todas as colunas são zero.
(c) Verdadeiro. Escalar não nulo não muda o span.
(d) Falso. Contraexemplo: A=In C(A-I)=0neq R^n=C(A).

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