Construa a matriz \mathrm{A}=\left[a_{i j}\right]_{3 x 3} definida por a_{i j}=0 se i=j, a_{i j}= (-1)^{i+j} se i<j e a_{i j}=i-j^{2} se i>j.

Passo 1

O enunciado pede para construir a matriz A = [a_{ij}]_{3\times3}\) cuja regra é \[a_{ij} = \begin{cases} 0, & i = j,\\\ (-1)^{\,i+j}, & i<j,\\\ i - j^{2}, & i>j. \end{cases}
Para resolver, vamos aplicar cada caso da definição às posições (i,j)\] de \(1 a 3.

Passo 2

As entradas da diagonal têm i=j, então
a_{11} = 0,\quad a_{22} = 0,\quad a_{33} = 0.

Passo 3

Para i<j calculamos a_{ij} = (-1)^{\,i+j}:
a_{12} = (-1)^{1+2} = (-1)^3 = -1,
a_{13} = (-1)^{1+3} = (-1)^4 = 1,
a_{23} = (-1)^{2+3} = (-1)^5 = -1.

Passo 4

Para i>j usamos a_{ij} = i - j^2:
a_{21} = 2 - 1^2 = 1,
a_{31} = 3 - 1^2 = 2,
a_{32} = 3 - 2^2 = 3 - 4 = -1.

Passo 5

Agora montamos a matriz com todas as entradas calculadas:
A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1\\\\ 1 & 0 & -1\\\\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}.

Resposta

A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1\\\\ 1 & 0 & -1\\\\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}.

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