Determine x e y de modo que se tenha a seguinte relação:
\left[\begin{array}{cc} x^{2}+2 x & 4 \\\ |x|+1 & y \end{array}\right]_{2 x 2}=\left[\begin{array}{cc} 3 & \sqrt{y^{2}} \\\\ 4 & -|y| \end{array}\right]_{2 x 2}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar (x,y) de modo que as entradas correspondentes das matrizes
\begin{pmatrix} x^{2}+2x & 4\\\ |x|+1 & y \end{pmatrix} \quad\text{e}\quad \begin{pmatrix} 3 & \sqrt{y^{2}}\\\\ 4 & -|y| \end{pmatrix}
sejam iguais. Vamos usar a propriedade de igualdade de matrizes (cada entrada na mesma posição deve coincidir) e também \sqrt{y^{2}}=|y|.

Passo 2

Comparando a entrada (1,1):
x^{2}+2x = 3.
Resolvendo a equação quadrática,
x^{2}+2x-3=0 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{-2\pm\sqrt{4+12}}{2}=\frac{-2\pm4}{2},
logo x=1 ou x=-3.

Passo 3

Comparando a entrada (1,2):
4 = \sqrt{y^{2}} = |y|,
o que implica
|y|=4 \quad\Longrightarrow\quad y=4\quad\text{ou}\quad y=-4.

Passo 4

Comparando a entrada (2,1):
|x|+1 = 4 \quad\Longrightarrow\quad |x|=3 \quad\Longrightarrow\quad x=3\text{ ou }x=-3.
Como da etapa anterior só tínhamos x=1 ou x=-3, a interseção dá
x=-3.

Passo 5

Comparando a entrada (2,2):
y = -|y|.
Se y\ge0, então |y|=y levaria a y=-y\Rightarrow y=0, em contradição com |y|=4. Logo é necessário y<0, o que com |y|=4
y=-4.

Resposta

x=-3,\;y=-4.

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