Construa uma matriz A de tamanho 2 times 2 tal que o conjunto solução da equação A x=0 é a reta em R^2 contendo (4,1) e a origem. Depois, encontre um vetor b em R^2 tal que o conjunto solução de A x=b não é uma reta em R^2 paralela ao conjunto solução de A x=0.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos construir uma matriz A de tamanho 2 times 2 tal que as soluções da equação A x = 0 formem uma reta no plano R^2 que passa pela origem e pelo ponto (4,1). Além disso, precisamos encontrar um vetor b em R^2 tal que as soluções da equação A x = b não sejam uma reta paralela à que encontramos para A x = 0.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como espaço nulo (conjunto solução de A x = 0), vetores, e sistemas lineares. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a reta que passa pela origem e pelo ponto (4,1). Uma reta que passa pela origem pode ser descrita por todos os múltiplos de um vetor diretor. Nesse caso, o vetor diretor pode ser (4,1). Então, qualquer ponto na reta pode ser escrito como k cdot (4,1), onde k é um número real.
Isso significa que o espaço nulo da matriz A (as soluções de A x = 0) é justamente essa reta. Então, queremos que A “anule” todos os vetores que estão nessa reta.

Passo 3

Para construir a matriz A, precisamos que qualquer vetor da forma (4k, k), para qualquer real k, satisfaça A x = 0. Vamos considerar a matriz A como:
A = a & b c & d
Multiplicando A por (4k, k), temos:
A cdot 4k k = a cdot 4k + b cdot k c cdot 4k + d cdot k = 0 0
Isso precisa ser verdadeiro para todo k, então:
4a + b = 0 4c + d = 0

Passo 4

Agora, vamos escolher valores para a, b, c, e d que satisfaçam essas equações. Podemos escolher a = 1, então b = -4a = -4. Para c, vamos escolher c = 1, então d = -4c = -4.
Portanto, a matriz A fica:
A = 1 & -4 1 & -4

Passo 5

Vamos verificar se essa matriz realmente tem o espaço nulo igual à reta que queremos. Considerando a equação A x = 0:
1 & -4 1 & -4 cdot x y = 0 0
Isso nos dá o sistema:
x - 4y = 0 x - 4y = 0
Que é redundante e tem como solução x = 4y, ou seja, todos os vetores da forma (4y, y), confirmando que o espaço nulo é a reta que queremos.

Passo 6

Agora, precisamos encontrar um vetor b tal que a equação A x = b não tenha soluções que formem uma reta paralela à do espaço nulo de A x = 0. Para isso, vamos escolher um vetor b que não esteja no espaço coluna de A.
O espaço coluna de A é gerado pelas colunas da matriz A. Neste caso, ambas as colunas são iguais a (1,1), então o espaço coluna é a reta que passa pela origem e pelo ponto (1,1). Para que A x = b não tenha soluções paralelas à do espaço nulo, b deve não estar nessa reta.
Vamos escolher, por exemplo, b = 1 2 . Esse vetor não está na reta gerada por (1,1), pois para b = k cdot (1,1), precisaríamos de 1 = k e 2 = k, o que não é possível.

Resposta

A matriz A desejada é:
A = 1 & -4 1 & -4
E um vetor b que satisfaz as condições é:
b = 1 2

Exercícios relacionados