Construa uma matriz de tamanho tal que o conjunto solução da equação é a reta em contendo e a origem. Depois, encontre um vetor em tal que o conjunto solução de não é uma reta em paralela ao conjunto solução de .
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos construir uma matriz de tamanho tal que as soluções da equação formem uma reta no plano que passa pela origem e pelo ponto . Além disso, precisamos encontrar um vetor em tal que as soluções da equação não sejam uma reta paralela à que encontramos para .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como espaço nulo (conjunto solução de ), vetores, e sistemas lineares. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a reta que passa pela origem e pelo ponto . Uma reta que passa pela origem pode ser descrita por todos os múltiplos de um vetor diretor. Nesse caso, o vetor diretor pode ser . Então, qualquer ponto na reta pode ser escrito como , onde é um número real.
Isso significa que o espaço nulo da matriz (as soluções de ) é justamente essa reta. Então, queremos que “anule” todos os vetores que estão nessa reta.
Passo 3
Para construir a matriz , precisamos que qualquer vetor da forma , para qualquer real , satisfaça . Vamos considerar a matriz como:
Multiplicando A por (4k, k), temos:
A cdot 4k k = a cdot 4k + b cdot k c cdot 4k + d cdot k = 0 0
Isso precisa ser verdadeiro para todo k, então:
4a + b = 0 4c + d = 0
Passo 4
Agora, vamos escolher valores para a, b, c, e d que satisfaçam essas equações. Podemos escolher a = 1, então b = -4a = -4. Para c, vamos escolher c = 1, então d = -4c = -4.
Portanto, a matriz A fica:
A = 1 & -4 1 & -4
Passo 5
Vamos verificar se essa matriz realmente tem o espaço nulo igual à reta que queremos. Considerando a equação A x = 0:
1 & -4 1 & -4 cdot x y = 0 0
Isso nos dá o sistema:
x - 4y = 0 x - 4y = 0
Que é redundante e tem como solução x = 4y, ou seja, todos os vetores da forma (4y, y), confirmando que o espaço nulo é a reta que queremos.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar um vetor b tal que a equação A x = b não tenha soluções que formem uma reta paralela à do espaço nulo de A x = 0. Para isso, vamos escolher um vetor b que não esteja no espaço coluna de A.
O espaço coluna de A é gerado pelas colunas da matriz A. Neste caso, ambas as colunas são iguais a (1,1), então o espaço coluna é a reta que passa pela origem e pelo ponto (1,1). Para que A x = b não tenha soluções paralelas à do espaço nulo, b deve não estar nessa reta.
Vamos escolher, por exemplo, b = 1 2 . Esse vetor não está na reta gerada por (1,1), pois para b = k cdot (1,1), precisaríamos de 1 = k e 2 = k, o que não é possível.