Seja A=[lll1 & 2 & 3 1 & 1 & 2 0 & 1 & 2]
Calcule A^-1 e A^T.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a inversa A^-1 e a transposta A^T da seguinte matriz:
A = 1 & 2 & 3 1 & 1 & 2 0 & 1 & 2
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes inversas e transpostas. Precisamos entender como encontrar a matriz inversa (se existir) e como transpor uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a transposta da matriz A . A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas. Ou seja, a primeira linha vira a primeira coluna, a segunda linha vira a segunda coluna, e assim por diante.
Vamos fazer isso com a matriz A :
A = 1 & 2 & 3 1 & 1 & 2 0 & 1 & 2
A transposta A^T será:
A^T = 1 & 1 & 0 2 & 1 & 1 3 & 2 & 2
Então, já temos a transposta!

Passo 3

Agora, vamos calcular a matriz inversa A^-1 . Para que uma matriz A tenha uma inversa, ela precisa ser não singular, ou seja, seu determinante deve ser diferente de zero.
Primeiro, vamos calcular o determinante de A . Para uma matriz 3 times 3 , o determinante pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a regra de Laplace. Aqui, vamos usar a regra de Sarrus:
det(A) = 1 cdot (1 cdot 2 - 2 cdot 1) - 2 cdot (1 cdot 2 - 2 cdot 0) + 3 cdot (1 cdot 1 - 1 cdot 0)
Calculando cada termo:
det(A) = 1 cdot (2 - 2) - 2 cdot (2 - 0) + 3 cdot (1 - 0) = 1 cdot 0 - 2 cdot 2 + 3 cdot 1 = 0 - 4 + 3 = -1
Como det(A) = -1 neq 0 , a matriz A é inversível.

Passo 4

Agora que sabemos que A tem inversa, vamos calcular A^-1 . Para uma matriz 3 times 3 , a inversa pode ser encontrada usando a fórmula:
A^-1 = 1det(A) cdot adj(A)
Onde adj(A) é a adjunta de A , que é a transposta da matriz dos cofatores.
Vamos encontrar a matriz dos cofatores de A :
Primeiro, calculamos os menores de cada elemento de A :
  • C11 = 1 & 2 1 & 2 = (1)(2) - (2)(1) = 0
  • C12 = 1 & 2 0 & 2 = (1)(2) - (2)(0) = 2
  • C13 = 1 & 1 0 & 1 = (1)(1) - (1)(0) = 1
  • C21 = 2 & 3 1 & 2 = (2)(2) - (3)(1) = 1
  • C22 = 1 & 3 0 & 2 = (1)(2) - (3)(0) = 2
  • C23 = 1 & 2 0 & 1 = (1)(1) - (2)(0) = 1
  • C31 = 2 & 3 1 & 2 = (2)(2) - (3)(1) = 1
  • C32 = 1 & 3 1 & 2 = (1)(2) - (3)(1) = -1
  • C33 = 1 & 2 1 & 1 = (1)(1) - (2)(1) = -1
Agora, aplicamos os sinais alternados para obter os cofatores:
Matriz dos Cofatores = +0 & -2 & +1 -1 & +2 & -1 +1 & -(-1) & +(-1) = 0 & -2 & 1 -1 & 2 & -1 1 & 1 & -1
Em seguida, encontramos a adjunta adj(A) que é a transposta da matriz dos cofatores:
adj(A) = 0 & -1 & 1 -2 & 2 & 1 1 & -1 & -1
Finalmente, calculamos A^-1 :
A^-1 = 1-1 cdot 0 & -1 & 1 -2 & 2 & 1 1 & -1 & -1 = 0 & 1 & -1 2 & -2 & -1 -1 & 1 & 1

Resposta

A transposta de A é
A^T = 1 & 1 & 0 2 & 1 & 1 3 & 2 & 2
e a inversa de A é
A^-1 = 0 & 1 & -1 2 & -2 & -1 -1 & 1 & 1

Exercícios relacionados