(a) Encontre uma base para [C(A)]^{\perp} onde A=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\ 2 & 4\end{array}\right).
(b) Escreva \left(\begin{array}{l}3 \\\\ 3 \\\\ 3\end{array}\right) como soma de dois vetores v e w onde v está no espaço nulo de A^{T} e w \perp v. Existe mais de uma resposta possível?
Passo 1
O enunciado nos dá A\in\mathbb{R}^{3\times2} e pede:
(a) uma base para \bigl[C(A)\bigr]^\perp, que é o núcleo de A^T;
(b) decompor \begin{pmatrix}3\\\ 3\\\ 3\end{pmatrix} em v+w com v\in N(A^T) e w\perp v, questionando se existe mais de uma resposta.
Vamos primeiro achar N(A^T) resolvendo A^T x=0, e depois usar condição de ortogonalidade para decompor o vetor.