(a) Encontre uma base para [C(A)]^{\perp} onde A=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\ 2 & 4\end{array}\right).
(b) Escreva \left(\begin{array}{l}3 \\\\ 3 \\\\ 3\end{array}\right) como soma de dois vetores v e w onde v está no espaço nulo de A^{T} e w \perp v. Existe mais de uma resposta possível?

Passo 1

O enunciado nos dá A\in\mathbb{R}^{3\times2} e pede:
(a) uma base para \bigl[C(A)\bigr]^\perp, que é o núcleo de A^T;
(b) decompor \begin{pmatrix}3\\\ 3\\\ 3\end{pmatrix} em v+w com v\in N(A^T) e w\perp v, questionando se existe mais de uma resposta.
Vamos primeiro achar N(A^T) resolvendo A^T x=0, e depois usar condição de ortogonalidade para decompor o vetor.

Passo 2

Escrevemos
A^T = \begin{pmatrix}1 & 0 & 2\\[6pt]1 & 1 & 4\end{pmatrix},
logo o sistema A^T x=0\) é \[\begin{cases} x_1 + 2x_3 = 0,\\\ x_1 + x_2 + 4x_3 = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem (x_1 = -2x_3]. Substituindo na segunda,
-2x_3 + x_2 + 4x_3 = 0 \quad\implies\quad x_2 = -2x_3.]

Passo 3

Portanto
x = (x_1,x_2,x_3) = x_3\,(-2,-2,1),
de modo que
N(A^T) = \Span\{(-2,-2,1)\}.
Assim, uma base para \bigl[C(A)\bigr]^\perp é
\{\,(-2,-2,1)\}.

Passo 4

Para decompor b=(3,3,3)^T em v+w com v\in N(A^T) e w\perp v, escrevemos v = t\,n onde n=(-2,-2,1) gera N(A^T), e w = b - v. A condição v\perp w é
v\cdot w = 0 \;\Longrightarrow\; t\,n\cdot\bigl(b - t\,n\bigr) = 0 \;\Longrightarrow\; t\,(n\cdot b) - t^2\,(n\cdot n) = 0.
Calculamos
n\cdot b = (-2)\cdot3 + (-2)\cdot3 + 1\cdot3 = -9, \quad n\cdot n = 4 + 4 + 1 = 9.

Passo 5

Da equação t(-9) - 9t^2 = 0 seguem as soluções
t = 0 \quad\text{ou}\quad t = \frac{n\cdot b}{n\cdot n} = -1.
  • Para t=0 obtemos a solução trivial v=0, w=b.
  • Para t=-1 vem
v = -1\,(-2,-2,1) = (2,2,-1), \qquad w = b - v = (1,1,4),
e verifica-se v\in N(A^T) e v\cdot w=0.

Resposta

(a) Uma base para \bigl[C(A)\bigr]^\perp é \{(-2,-2,1)\}.
(b) Por exemplo, tomando t=-1,
v = (2,2,-1), \quad w = (1,1,4),
satisfaz v\in N(A^T) e w\perp v. Como também há a solução trivial v=0, w=(3,3,3), existem ao menos essas duas decomposições.

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