Construa o modelo de Programação Linear do problema a seguir:
Um agricultor está interessado na produção do milho e algodão. Ele deseja saber qual a combinação dessas 2 linhas de produção que lhe pode proporcionar a maior renda possível. Ele possui área disponível de 100 ha e sabe que pode dispor, durante o período de produção de milho e algodão, de 3.600 homens/dia e 240 dias de trabalho de um trator médio. Com base em sua experiência, ele sabe que naquela terra e com sua técnica de produção, o milho produz 2.000 \mathrm{Kg} / ha e o algodão 1.800 \mathrm{~kg} / \mathrm{ha}. A cultura do milho exige 30 homens/dia por ha e 4 dias de serviço de trator por hectare, enquanto o algodão exige 60 homens/dia por ha e 2 dias de trator por ha. As perspectivas de preço são de R \ 1.700,00 por tonelada de milho e deR $2.040,00$ por tonelada de algodão.

Passo 1

O enunciado apresenta um problema de programação linear: o agricultor quer decidir quantos hectares de milho e de algodão plantar para maximizar sua renda, sujeito a limites de área disponível, de mão de obra e de horas-trator. Para resolver precisamos (1) definir as variáveis de decisão, (2) escrever as restrições de recursos e (3) formular a função objetivo de maximização da renda.

Passo 2

Definimos as variáveis de decisão: x_1 = número de hectares plantados com milho x_2 = número de hectares plantados com algodão

Passo 3

Escrevemos as restrições de recursos:
Área disponível (100 ha):
x_1 + x_2 \le 100
Mão de obra ( 3600 homens-dia):
30\,x_1 + 60\,x_2 \le 3600
Horas de trator (240 dias-trator):
4\,x_1 + 2\,x_2 \le 240
Não negatividade:
x_1 \ge 0,\quad x_2 \ge 0

Passo 4

Função objetivo (renda em R$):
O milho rende 2{,}000 kg/ha =2 t/ha a R$ 1700/t ⇒ R$ 3400/ha.
O algodão rende 1{,}800 kg/ha =1,8 t/ha a R$ 2040/t ⇒ R$ 3672/ha.
Maximizar
Z = 3400\,x_1 + 3672\,x_2

Resposta

Maximizar
Z = 3400\,x_1 + 3672\,x_2
sujeito a
\begin{cases} x_1 + x_2 \le 100,\\\\ 30\,x_1 + 60\,x_2 \le 3600,\\\\ 4\,x_1 + 2\,x_2 \le 240,\\\ x_1 \ge 0,\;x_2 \ge 0. \end{cases}

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