Construa o modelo de Programação Linear do problema a seguir:
Para uma boa alimentação o corpo necessita de vitaminas e proteínas. A necessidade mínima de vitaminas é de 32 unidades/ dia e de proteínas é de 36 unidades/dia. Uma pessoa tem disponível carne e ovos para se alimentar. Cada unidade de carne contém 4 unidades de vitaminas e 6 unidades de proteínas. Cada unidade de ovo contém 8 unidades de vitaminas e 6 de proteínas. Qual a quantidade diária de carne e ovos que deve ser consumida para suprir as necessidades de vitaminas e proteínas com o menor custo possível? Cada unidade de carne custa R 3,00 e cada unidade de ovo custa R2,50.Construa o modelo do problema.

Passo 1

O enunciado pede para determinar quantas unidades de carne e de ovo devem ser consumidas por dia de modo a suprir, no mínimo, 32 unidades de vitaminas e 36 unidades de proteínas, minimizando o custo total. O conteúdo aqui é formulação de um modelo de Programação Linear: identificar variáveis de decisão, função‐objetivo e restrições.

Passo 2

Definimos as variáveis de decisão: x_{1}= número de unidades de carne consumidas por dia x_{2}= número de unidades de ovo consumidas por dia

Passo 3

A função‐objetivo é minimizar o custo total, dado que cada unidade de carne custa R\$3,00 e cada unidade de ovo custa R\$2,50. Logo,
\text{Minimize}\quad Z = 3\,x_{1} + 2{,}5\,x_{2}

Passo 4

Precisamos garantir pelo menos 32 unidades de vitaminas. Cada unidade de carne fornece 4 unidades de vitaminas e cada ovo fornece 8. Assim, a restrição de vitaminas é
4\,x_{1} + 8\,x_{2} \;\ge\; 32

Passo 5

Precisamos garantir pelo menos 36 unidades de proteínas. Cada unidade de carne fornece 6 unidades de proteínas e cada ovo fornece 6. Assim, a restrição de proteínas é
6\,x_{1} + 6\,x_{2} \;\ge\; 36

Passo 6

Como não faz sentido consumir quantidades negativas, adicionamos as restrições de não negatividade:
x_{1} \;\ge\; 0,\qquad x_{2} \;\ge\; 0
Com isso, o modelo de Programação Linear fica completamente definido.

Resposta

Minimizar
Z = 3\,x_{1} + 2{,}5\,x_{2}
sujeito a
4\,x_{1} + 8\,x_{2} \;\ge\; 32
6\,x_{1} + 6\,x_{2} \;\ge\; 36
x_{1} \;\ge\; 0,\quad x_{2} \;\ge\; 0

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