Construa o modelo de Programação Linear do problema a seguir:
Deseja-se obter uma dieta para rações de gado, que contenha os nutrientes N1, N2, N3, N4. As indústrias locais de alimentos fabricam dois produtos: “A” e “B”, os quais contém as seguintes quantidades de nutrientes por quilo:
Produto N1 N2 N3 N4
A 100 g 100 g 200 g
B 100 g 200 g 100 g
Sabe-se que o gado deve consumir diariamente, pelo menos 0,4 \mathrm{~kg} de \mathrm{N} 1,0,6 \mathrm{Kg} de \mathrm{N} 2,2 \mathrm{Kg} de N 3 e 1,7 \mathrm{~kg} de N4. O alimento “A” custa R 80,00 por quilo e o "B" R 32,00 / \mathrm{kg}. Determinar as quantidades diárias de “A” e “B” a serem usadas por animal, de modo a se obter um menor custo.

Passo 1

O enunciado é um problema de dieta em Programação Linear: queremos escolher quantidades diárias dos produtos “A” e “B” que minimizem o custo total, respeitando exigências mínimas de nutrientes N1, N2, N3 e N4. Para formular, vamos precisar definir variáveis de quantidade, escrever a função objetivo de custo e montar as restrições de nutrientes convertendo gramas em quilogramas.

Passo 2

Definimos as variáveis de decisão: x_{A} = quantidade diária em kg do produto A x_{B} = quantidade diária em kg do produto B

Passo 3

A função objetivo é minimizar o custo total, dado que o preço de A é R$80,00/kg e o de B é R$ 32,00/kg:
\text{Minimizar } Z = 80\,x_{A} + 32\,x_{B}

Passo 4

As restrições de nutrientes resultam de converter o teor em gramas por kg em kg por kg ( 100 g = 0,1 kg) e impor o consumo mínimo:
\begin{cases} \text{N1: }0,1\,x_{A} \ge 0,4,\\[6pt] \text{N2: }0,1\,x_{B} \ge 0,6,\\[6pt] \text{N3: }0,1\,x_{A} + 0,2\,x_{B} \ge 2,0,\\[6pt] \text{N4: }0,2\,x_{A} + 0,1\,x_{B} \ge 1,7. \end{cases}]

Passo 5

Impor não negatividade:
x_{A} \ge 0,\quad x_{B} \ge 0.

Resposta

Minimizar
Z = 80\,x_{A} + 32\,x_{B}
sujeito a
\begin{cases} 0,1\,x_{A} \ge 0,4,\\\\ 0,1\,x_{B} \ge 0,6,\\\\ 0,1\,x_{A} + 0,2\,x_{B} \ge 2,0,\\\\ 0,2\,x_{A} + 0,1\,x_{B} \ge 1,7,\\\ x_{A} \ge 0,\\\ x_{B} \ge 0. \end{cases}

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