Construa o modelo de Programação Linear do problema a seguir:
Uma microempresa tem disponíveis os seguintes tecidos: 16 \mathrm{~m}^{2} de algodão, 11 \mathrm{~m}^{2} de seda e 15 \mathrm{~m}^{2} de lã. Para confeccionar um terno padrão, são necessários 2 \mathrm{~m}^{2} de algodão, 1 \mathrm{~m}^{2} de seda e 1 \mathrm{~m}^{2} de lã. Para um vestido padrão, são necessários 1 \mathrm{~m}^{2} de algodão, 2 \mathrm{~m}^{2} de seda e 3 \mathrm{~m}^{2} de lã. Se o lucro líquido de um terno é de 300 u.m. e de um vestido de 500 u.m., quantas peças de cada tipo a microempresa deve fabricar para ter o maior lucro possível?

Passo 1

O problema é um caso clássico de Programação Linear: queremos decidir quantos ternos e vestidos fabricar para maximizar o lucro, respeitando os estoques de algodão, seda e lã. Vamos precisar definir variáveis de decisão, montar a função objetivo (lucro total) e impor as restrições de matéria‐prima.

Passo 2

Definimos as variáveis de decisão: x = número de ternos a fabricar y = número de vestidos a fabricar

Passo 3

A função objetivo é o lucro total, isto é,
\max L = 300x + 500y

Passo 4

As restrições vêm dos estoques de tecidos. Para algodão (16 m^{2}):
2x + 1y \le 16
Para seda (11 m^{2}):
1x + 2y \le 11
Para lã (15 m^{2}):
1x + 3y \le 15
E as variáveis não podem ser negativas:
x \ge 0,\quad y \ge 0

Passo 5

No método gráfico, encontramos os vértices do polígono viável. Os mais relevantes são
– interceptos: (0,0), (8,0), (0,5)
– interseções de \{2x+y=16,\;x+2y=11\}\to(7,2) \{x+2y=11,\;x+3y=15\}\to(3,4)

Passo 6

Calculamos o lucro em cada ponto: (0,0)\to0, (8,0)\to300\cdot8=2400, (0,5)\to500\cdot5=2500, (7,2)\to300\cdot7+500\cdot2=3100, (3,4)\to300\cdot3+500\cdot4=2900.

Passo 7

O maior lucro é 3100 u.m., obtido em (x,y)=(7,2).

Resposta

A microempresa deve fabricar 7 ternos e 2 vestidos para obter o lucro máximo.

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