Construa o modelo de Programação Linear do problema a seguir:
Uma pequena fábrica de papel-toalha manufatura três tipo de produto: \mathrm{A}, \mathrm{B} e C . A fábrica recebe o papel em grandes rolos. É cortado, dobrado e empacotado. Dada a pequena escala da fábrica, o mercado absorverá qualquer produção a um preço constante. O lucro unitário de cada produto é, respectivamente R \ 1,00, R $1,50 e R$ 2,00$. Através do quadro abaixo que, identifica o tempo requerido para a operação (em horas) em cada seção da fábrica, bem como a quantidade horas disponíveis. Formule um modelo de programação linear para determinar a produção de cada um dos produtos de modo a maximizar o lucro total da fábrica.
Seção Produto A Produto B Produto C
Horas
Disponíveis
Corte 8 5 2 120
Dobra 5 10 4 400
Empacotamento 0,7 1 2 80

Passo 1

O enunciado pede para montar um modelo de Programação Linear que determine quantas unidades de cada produto (A, B e C) devem ser produzidas para maximizar o lucro total, dado o tempo limitado em três seções da fábrica (corte, dobra e empacotamento). Para isso, vamos precisar definir variáveis de decisão, formular a função objetivo (lucro) e as restrições de capacidade de horas em cada seção.

Passo 2

Definimos as variáveis de decisão como sendo as quantidades produzidas de cada tipo de produto: x_A = número de unidades do produto A produzidas x_B = número de unidades do produto B produzidas x_C = número de unidades do produto C produzidas

Passo 3

A função objetivo é o lucro total, que depende do lucro unitário de cada produto. Como o mercado absorve toda a produção a preço constante, queremos:
\max Z = 1,00\,x_A + 1,50\,x_B + 2,00\,x_C

Passo 4

As restrições decorrem do tempo disponível em cada seção, multiplicado pelo tempo que cada produto exige nessa seção, não podendo ultrapassar as horas disponíveis:
8\,x_A + 5\,x_B + 2\,x_C \le 120
5\,x_A + 10\,x_B + 4\,x_C \le 400
0,7\,x_A + 1,0\,x_B + 2,0\,x_C \le 80

Passo 5

Incluímos as restrições de não-negatividade, pois não faz sentido produzir quantidade negativa:
x_A \ge 0,\quad x_B \ge 0,\quad x_C \ge 0

Resposta

\begin{aligned} &\max &&Z = 1,00\,x_A + 1,50\,x_B + 2,00\,x_C\\\ &\text{s.a.} &&8\,x_A + 5\,x_B + 2\,x_C \le 120,\\\ &&&5\,x_A + 10\,x_B + 4\,x_C \le 400,\\\ &&&0,7\,x_A + 1,0\,x_B + 2,0\,x_C \le 80,\\\ &&&x_A \ge 0,\;x_B \ge 0,\;x_C \ge 0. \end{aligned}

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