Encontre a solução do seguinte PVI:
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime}(t)+2 t y(t) \equiv t \\\ y(0)=1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
\begin{cases} y'(t) + 2\,t\,y(t) = t,\\\ y(0) = 1, \end{cases}
que é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Escrevemos a equação no formato
y'(t) + p(t)\,y(t) = g(t),
onde p(t)=2t e g(t)=t. O fator integrante é
\mu(t) = \exp\Bigl(\int p(t)\,\mathrm{d}t\Bigr) = \exp\Bigl(\int 2t\,\mathrm{d}t\Bigr) = \exp\bigl(t^2\bigr).

Passo 3

Multiplicamos a equação original por \mu(t):
e^{t^2}\,y'(t) + 2t\,e^{t^2}\,y(t) = t\,e^{t^2}.
O lado esquerdo é justamente a derivada de y(t)\,e^{t^2}, ou seja
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigl(y(t)\,e^{t^2}\bigr) = t\,e^{t^2}.

Passo 4

Agora integramos ambos os lados em relação a t:
y(t)\,e^{t^2} = \int t\,e^{t^2}\,\mathrm{d}t + C.
Como
\int t\,e^{t^2}\,\mathrm{d}t = \frac{1}{2}\,e^{t^2},
temos
y(t)\,e^{t^2} = \frac{1}{2}\,e^{t^2} + C.

Passo 5

Isolando y(t) e aplicando a condição y(0)=1:
y(t) = \frac{1}{2} + C\,e^{-t^2},
em t=0 isso dá
1 = \frac12 + C \quad\Longrightarrow\quad C = \frac12.

Resposta

y(t) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\,e^{-t^2}.

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