Construa os polinômios de JACOBI de grau zero, um, dois e três para alfa e beta iguais a 1

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente “construir os polinômios de Jacobi de grau 0, 1, 2 e 3” com parâmetros α=β=1.
Conteúdo: Polinômios ortogonais de Jacobi.
O que vamos usar:
  • A fórmula de Rodrigues para Jacobi
  • Derivar explicitamente para n=0,1,2,3
  • Fazer divisão de polinômio quando necessário (pra simplificar o resultado)

Passo 2

n=0 é sempre o mais tranquilo. Pela própria definição:
P0^(alpha,beta)(x)=1
Como α=β=1, fica
P0^(1,1)(x)=1

Passo 3

Para n=1 dá pra usar a fórmula de Rodrigues ou saber que o primeiro grau é
P1^(alpha,beta)(x)=alpha+beta+22x+alpha-beta2
Substituindo α=β=1:
P1^(1,1)(x)=1+1+22x+0=2x

Passo 4

Agora n=2: vamos usar a fórmula de Rodrigues
Pn^(alpha,beta)(x) =(-1)^n2^n,n!,(1-x)^-alpha(1+x)^-beta, d^ndx^nl[(1-x)^alpha+n(1+x)^beta+nr]
Para n=2 e α=β=1 isso vira (após derivar e simplificar):
  1. Calcular (1-x^2)^3 e suas duas derivadas
  2. Dividir por (1-x^2)
  3. Simplificar
    O resultado final é
P2^(1,1)(x) =15x^2-34,
que satisfaz P2^(1,1)(1)=binom2+12=3.

Passo 5

Por fim n=3, repetindo o mesmo esquema (fazer 3ª derivada de (1-x^2)^4, dividir por (1-x^2) e simplificar) a gente chega em
P3^(1,1)(x)=7x^3-3x,
que confere P3^(1,1)(1)=binom3+13=4.

Resposta

Os polinômios de Jacobi para α=β=1 são
P0^(1,1)(x)&=1, P1^(1,1)(x)&=2x, P2^(1,1)(x)&=15x^2-34, P3^(1,1)(x)&=7x^3-3x

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