Construa os polinômios de JACOBI de grau zero, um, dois e três para alfa e beta iguais a 1
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente “construir os polinômios de Jacobi de grau 0, 1, 2 e 3” com parâmetros α=β=1.
Conteúdo: Polinômios ortogonais de Jacobi.
O que vamos usar:
Conteúdo: Polinômios ortogonais de Jacobi.
O que vamos usar:
- A fórmula de Rodrigues para Jacobi
- Derivar explicitamente para n=0,1,2,3
- Fazer divisão de polinômio quando necessário (pra simplificar o resultado)
Passo 2
n=0 é sempre o mais tranquilo. Pela própria definição:
Como α=β=1, fica
Passo 3
Para n=1 dá pra usar a fórmula de Rodrigues ou saber que o primeiro grau é
Substituindo α=β=1:
Passo 4
Agora n=2: vamos usar a fórmula de Rodrigues
Para n=2 e α=β=1 isso vira (após derivar e simplificar):
- Calcular
e suas duas derivadas - Dividir por
- Simplificar
O resultado final é
que satisfaz
.
Passo 5
Por fim n=3, repetindo o mesmo esquema (fazer 3ª derivada de
, dividir por
e simplificar) a gente chega em
que confere
.
Resposta
Os polinômios de Jacobi para α=β=1 são