Seja a EDP,
partial^2 ypartial x^2=partial ypartial t
C.I, t=0, y=0
C.C. 1, x=0, d yd x=0
C.C.2, x=1, y=1.
Pede-se:
a) Determine o perfil de y(x) para o regime permanente.
b) Escreva a equação e proponha uma metodologia para determinar a solução numérica da EDP por discretizarão no tempo e espaço. (5 pontos no espaço).
c) Discretizando o espaço por diferenças finitas, e proponha um programa para integrar o sistema de EDOs ( 5 pontos internos).

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que temos:
Temos a equação de difusão unidimensional
partial^2 ypartial x^2 ;=;partial ypartial t
com condições iniciais e de contorno:
  • CI: em , .
  • CC1 (Neumann) em : .
  • CC2 (Dirichlet) em : .
Conteúdo: equação de difusão parabólica, regime permanente, diferenças finitas no espaço e método de integração no tempo. Vamos precisar de:
  1. Calcular o regime permanente ( ).
  2. Propor esquema FDM no espaço e diferença no tempo.
  3. Discretizar o espaço (5 pontos internos) e montar o sistema de ODEs para integrar no tempo.

Passo 2

Resolvendo o regime permanente (item a):
Em regime permanente d^2ydx^2=0 , nossa PDE vira
boxedyrm perm(x)=1forall,x,
Integramos duas vezes:
1ª integração: .
2ª integração: .
Usamos as CCs:
  • (pelo Neumann em ).
  • ⇒ como , .
    Logo

Passo 3

Escrevendo a equação para solução numérica e metodologia (item b):
Queremos aproximar
partial ypartial t = partial^2 ypartial x^2
num reticulado com 5 pontos no espaço entre partial^2 ypartial x^2|xi approx yi+1-2yi + yi-1(De e yi^n+1 = yi^n + De.
– Discretização espacial: escolhemos pontos internos , mais os 2 pontos de contorno, total de nós. Passo .
– Esquema de diferenças finitas de segunda ordem para :
– Em (Neumann): .
– Em (Dirichlet): .
– No tempo, podemos usar Euler explícito:
Temos que escolher pequeno o bastante para estabilidade (CFL: ).

Passo 4

Discretizando o espaço e propondo um programa (item c):
Nó interior d yidt = yi+1-2yi+yi-1(De:
y0 = y1, y6=1
Contornos:
Pseudo-código (Python-like):
Nint = 5
Nx = Nint + 2           # total de nós
dx = 1.0/(Nx-1)
dt = 0.5*dx*dx          # CFL
t_final = T
y = zero array of size Nx
# CI: y[:] = 0
# CC Dirichlet: y[Nx-1]=1

for n in range(nt):    # loop no tempo
  y_old = y.copy()
  # Neumann em x=0
  y_old[0] = y_old[1]
  for i in 1..Nint:
    y[i] = y_old[i] + dt*(y_old[i+1] - 2*y_old[i] + y_old[i-1])/dx**2
  # Dirichlet em x=1
  y[Nx-1] = 1
# ao final, y guarda a solução em t_final

Resposta

a) Regime permanente: .
b) Equação discretizada em espaço e tempo com FDM de 2ª ordem no espaço e Euler explícito no tempo (CFL: ).
c) Sistema de ODEs em cada nó interior

com BCs , , integrado por Euler explícito conforme o pseudo-código acima.

Exercícios relacionados