Resolva os sistemas lineares pelo método de Eliminação de Gauss retendo três casas decimais. Mostre os cálculos e o resultado final.
4 x1+3 x2+2 x3+x4= & 10 x1+2 x2+3 x3+4 x4= & 5 x1-x2-3 x3-x4= & -1 x1+x2+x3+x4= & 3
Apresentar o sistema linear triangularizado.
Solução: Sistema indeterminado.

Passo 1

Beleza, temos um sistema com 4 equações e 4 incógnitas que a gente vai resolver pelo método de Eliminação de Gauss. O conteúdo aqui é “escalonar” a matriz ampliada usando operações elementares para chegar num sistema triangular, e daí fazer retro-substituição (ou ver se o sistema é indeterminado/sem solução). Vou mostrar cada operação, sem pular etapas, e manter tudo com três casas decimais.

Passo 2

Escrevendo a matriz ampliada original:
[cccc|c 4 & 3 & 2 & 1 & 10 1 & 2 & 3 & 4 & 5 1 & -1 & -3 & -1 & -1 1 & 1 & 1 & 1 & 3 ]
Agora o pivô inicial é 4 (linha 1, coluna 1). A gente vai zerar as entradas debaixo dele na coluna 1.

Passo 3

Fazer L₂←L₂–(1/4)L₁, L₃←L₃–(1/4)L₁, L₄←L₄–(1/4)L₁:
L2&:;[1,2,3,4|5] - 0,250,[4,3,2,1|10] = [,0,;1,250,;2,500,;3,750;|;2,500],, L3&:;[1,-1,-3,-1|-1] - 0,250,[4,3,2,1|10] = [,0,;-1,750,;-3,500,;-1,250;|;-3,500],, L4&:;[1,1,1,1|3] - 0,250,[4,3,2,1|10] = [,0,;0,250,;0,500,;0,750;|;0,500],
Agora nossa matriz é
[cccc|c 4 & 3 & 2 & 1 & 10 0 & 1,250 & 2,500 & 3,750 & 2,500 0 & -1,750 & -3,500 & -1,250 & -3,500 0 & 0,250 & 0,500 & 0,750 & 0,500 ]

Passo 4

Próximo pivô é 1,250 (linha 2, coluna 2). Vamos zerar abaixo:
Fazemos L₃←L₃ + (1,750/1,250)·L₂ com 1,750/1,250=1,400, e L₄←L₄ – (0,250/1,250)·L₂ com 0,250/1,250=0,200.
Cálculos:
L3&:;[-1,750,-3,500,-1,250,-3,500] +1,400,[1,250,2,500,3,750,2,500] = [,0,,0,,0,,4,000,|,0,], L4&:;[0,250,0,500,0,750,0,500] -0,200,[1,250,2,500,3,750,2,500] = [,0,,0,,0,,0,,0,]
Agora a matriz escalonada fica
[cccc|c 4 & 3 & 2 & 1 & 10 0 & 1,250 & 2,500 & 3,750 & 2,500 0 & 0 & 0 & 4,000 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 ]

Passo 5

Temos o sistema triangular equivalente:
4x1 + 3x2 + 2x3 + 1x4 = 10, 1,250,x2 + 2,500,x3 + 3,750,x4 = 2,500, 4,000,x4 = 0, 0 = 0(linha zero)
Da terceira equação vem imediatamente
x4 = 04,000 = 0,000
Como temos uma linha toda zero, o sistema é indeterminado: sobra uma variável livre. Vamos chamar .

Passo 6

Agora retro-substituímos:
Da segunda equação, com 1,250,x2 + 2,500,t = 2,500 Longrightarrow x2 = 2,500 - 2,500,t1,250 = 2,000 - 2,000,t l(mas com 3 dec: 2,000=2,000r) :
4x1 + 3(2 - 2t) + 2t + 0 = 10 ;Longrightarrow; 4x1 + 6 - 6t + 2t = 10 ;Longrightarrow; 4x1 = 4 + 4t ;Longrightarrow; x1 = 1 + t
Da primeira equação, com , , :

Resposta

O sistema é indeterminado e a solução geral, com parâmetro boxed x1 = 1,000 + 1,000,t, x2 = 2,000 - 2,000,t, x3 = t, x4 = 0,000 , é

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