Se a é um número real positivo e r=\frac{1}{a}+5, calcule o valor de \frac{1}{r} em termos de a.

Passo 1

O enunciado dá que a é um número real positivo e que
r=\frac{1}{a}+5.
Pede-se para calcular \frac{1}{r} em termos de a.
Informações relevantes: a>0 e r está definido por \;r=\dfrac{1}{a}+5.

Passo 2

Entendendo o que é pedido: \dfrac{1}{r} é o recíproco de r. O recíproco de um número não nulo \,x é o número \dfrac{1}{x} tal que x\cdot\dfrac{1}{x}=1. Aqui queremos o recíproco da expressão \dfrac{1}{a}+5.

Passo 3

Escrevendo diretamente a quantidade pedida:
\frac{1}{r}=\frac{1}{\dfrac{1}{a}+5}.
Agora vamos simplificar essa expressão transformando o denominador em uma única fração.

Passo 4

Colocar \dfrac{1}{a} e 5 sobre um mesmo denominador. Escreve-se 5=\dfrac{5a}{a}, então
\frac{1}{a}+5=\frac{1}{a}+\frac{5a}{a}=\frac{1+5a}{a}.

Passo 5

Usar a regra do recíproco de uma fração: o recíproco de \dfrac{1+5a}{a} é \dfrac{a}{1+5a}. Portanto
\frac{1}{r}=\frac{1}{\dfrac{1+5a}{a}}=\frac{a}{1+5a}.

Passo 6

Verificação rápida e observação: como a>0, tem-se 1+5a>0, então não há divisão por zero e a expressão está bem definida. Exemplo numérico para conferir: se a=2 então r=\dfrac{1}{2}+5=\dfrac{11}{2} e \dfrac{1}{r}=\dfrac{2}{11}, que coincide com \dfrac{a}{1+5a}=\dfrac{2}{1+10}=\dfrac{2}{11}.

Resposta

\dfrac{a}{1+5a}

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