Responda Falso (F) ou Verdadeiro (V), justificando cada resposta:
(a) Números reais muito próximos de 2 são necessariamente racionais.
(b) Se b é um número irracional, então \frac{1}{b} é irracional.
(c) Se s é um número irracional positivo, então s^{2} é um número racional.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se cada uma das três afirmações é Verdadeira (V) ou Falsa (F) e justificar cada escolha. As três afirmações são:
  • (a) Números reais muito próximos de 2 são necessariamente racionais.
  • (b) Se b é um número irracional, então \dfrac{1}{b} é irracional.
  • (c) Se s é um número irracional positivo, então s^{2} é um número racional.
Informações dadas (implícitas): sabemos o que são números racionais e irracionais, e podemos usar propriedades básicas (soma/produto/recíproco) e construir contraexemplos quando necessário. Vou decidir V/F para cada item e justificar com provas ou contraexemplos.

Passo 2

Definições importantes (explicadas devagarinho).
  • Um número real x é racional se existe uma fração de inteiros \dfrac{p}{q} com q\neq0 tal que x=\dfrac{p}{q}. Exemplos: \dfrac{3}{2}, 0, -7.
  • Um número real é irracional se não é racional. Exemplos clássicos: \sqrt{2}, \pi.
    Essas definições servem para provar coisas por contradição: assumir algo racional/irracional e derivar contradicção.

Passo 3

Lemas úteis (pequenas propriedades que vamos usar; provei porque elas aparecem direto nas justificações).
  1. Soma de racional com irracional é irracional. Prova simples: sejam r racional e x irracional. Se r+x fosse racional, então x=(r+x)-r seria diferença de racionais, logo racional — contradição. Portanto r+x é irracional.
  2. Produto de racional não nulo com irracional é irracional. Prova: seja q racional, q\neq0, e x irracional. Se qx fosse racional, então x=(qx)/q seria racional — contradição. Logo qx é irracional.
  3. Observação: 0 é racional (pois 0=\tfrac{0}{1}). Assim qualquer número irracional não pode ser zero; logo seu recíproco está bem definido.

Passo 4

Afirmação (a): “Números reais muito próximos de 2 são necessariamente racionais.”
Essa afirmação é FALSA.
Justificativa (contraexemplo construtivo e argumento didático):
  • Considere a sequência \displaystyle x_{n}=2+\frac{\sqrt{2}}{n}, para n\in\mathbb{N}, n\ge1.
  • Para cada n temos \displaystyle x_{n}-2=\frac{\sqrt{2}}{n}, que tende a 0 quando n\to\infty. Ou seja, os x_{n} ficam arbitrariamente próximos de 2.
  • Cada \displaystyle x_{n} é irracional: isso porque \sqrt{2} é irracional e \dfrac{1}{n} é racional não nula, então \dfrac{\sqrt{2}}{n} é irracional (lema 2) e soma de 2 (racional) com algo irracional é irracional (lema 1). Logo x_{n} é irracional.
  • Conclusão: existem (de fato infinitos) números reais arbitrariamente próximos de 2 que são irracionais. Assim não é verdade que números muito próximos de 2 sejam necessariamente racionais.
Comentário intuitivo: tanto os racionais quanto os irracionais são “densos” na reta real — entre 2-\varepsilon e 2+\varepsilon sempre há racionais e também sempre há irracionais.

Passo 5

Uma maneira geral de ver isso é: se (a,b) é um intervalo com a<b, escolha um racional r em (a-\sqrt{2},\,b-\sqrt{2}) (existe por densidade dos racionais) e então r+\sqrt{2}\in(a,b) e é irracional (pelo lema 1). Isso mostra que há irracionais em qualquer intervalo, então sempre há irracionais “muito próximos” de qualquer ponto real.

Passo 6

Afirmação (b): “Se b é um número irracional, então \dfrac{1}{b} é irracional.”
Essa afirmação é VERDADEIRA.
Justificativa (prova por contradição):
  • Suponha que b é irracional. Como 0 é racional, b\neq0 necessariamente (caso contrário seria racional), portanto \dfrac{1}{b} está bem definido.
  • Suponha, para contradizer, que \dfrac{1}{b} fosse racional. Então \dfrac{1}{b}=\dfrac{p}{q} para inteiros p,q com q\neq0.
  • Daí b=\dfrac{1}{(1/b)}=\dfrac{q}{p} seria racional — contradição com a hipótese de b irracional.
  • Conclusão: \dfrac{1}{b} não pode ser racional; logo \dfrac{1}{b} é irracional.
Observação: a conclusão depende de b\neq0, mas como dito acima 0 é racional, então nenhum número irracional é zero — logo a hipótese já garante recíproco bem definido.

Passo 7

Afirmação (c): “Se s é um número irracional positivo, então s^{2} é um número racional.”
Essa afirmação é FALSA.
Justificativa (contraexemplo):
  • Existem irracionais cujo quadrado é racional (por exemplo s=\sqrt{2} é irracional e s^{2}=2 é racional), mas a afirmação exige que isso aconteça para todo irracional positivo s. Basta então um contraexemplo para mostrar que a afirmação universal é falsa.
  • Tome s=\sqrt{2}+1. Esse s é irracional (soma de racional 1 com irracional \sqrt{2} é irracional, lema 1).
  • Calcule s^{2}:
s^{2}=(\sqrt{2}+1)^{2}=2+2\sqrt{2}+1=3+2\sqrt{2}.
  • Se 3+2\sqrt{2} fosse racional, então 2\sqrt{2}=(3+2\sqrt{2})-3 seria racional, e então \sqrt{2}=\dfrac{1}{2}(2\sqrt{2}) seria racional — contradição. Portanto 3+2\sqrt{2} é irracional.
  • Logo s é irracional e s^{2} também é irracional, provando que a afirmação “todo irracional positivo tem quadrado racional” é falsa.
Resumo conceitual: para alguns irracionais o quadrado é racional (ex.: \sqrt{2}), para outros o quadrado é irracional (ex.: \sqrt{2}+1). Não há regra universal que force s^{2} a ser racional quando s é irracional.

Resposta

(a) F
(b) V
(c) F

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