Responda Falso (F) ou Verdadeiro (V), justificando cada resposta:
(a) Números reais muito próximos de 2 são necessariamente racionais.
(b) Se
é um número irracional, então
é irracional.
(c) Se
é um número irracional positivo, então
é um número racional.
(a) Números reais muito próximos de 2 são necessariamente racionais.
(b) Se
(c) Se
Passo 1
O enunciado pede para decidir se cada uma das três afirmações é Verdadeira (V) ou Falsa (F) e justificar cada escolha. As três afirmações são:
- (a) Números reais muito próximos de
são necessariamente racionais. - (b) Se
é um número irracional, então é irracional. - (c) Se
é um número irracional positivo, então é um número racional.
Informações dadas (implícitas): sabemos o que são números racionais e irracionais, e podemos usar propriedades básicas (soma/produto/recíproco) e construir contraexemplos quando necessário. Vou decidir V/F para cada item e justificar com provas ou contraexemplos.
Passo 2
Definições importantes (explicadas devagarinho).
- Um número real
é racional se existe uma fração de inteiros com tal que . Exemplos: , , . - Um número real é irracional se não é racional. Exemplos clássicos:
, .
Essas definições servem para provar coisas por contradição: assumir algo racional/irracional e derivar contradicção.
Passo 3
Lemas úteis (pequenas propriedades que vamos usar; provei porque elas aparecem direto nas justificações).
- Soma de racional com irracional é irracional. Prova simples: sejam
racional e irracional. Se fosse racional, então seria diferença de racionais, logo racional — contradição. Portanto é irracional. - Produto de racional não nulo com irracional é irracional. Prova: seja
racional, , e irracional. Se fosse racional, então seria racional — contradição. Logo é irracional. - Observação:
é racional (pois ). Assim qualquer número irracional não pode ser zero; logo seu recíproco está bem definido.
Passo 4
Afirmação (a): “Números reais muito próximos de
são necessariamente racionais.”
Essa afirmação é FALSA.
Essa afirmação é FALSA.
Justificativa (contraexemplo construtivo e argumento didático):
- Considere a sequência
, para , . - Para cada
temos , que tende a quando . Ou seja, os ficam arbitrariamente próximos de . - Cada
é irracional: isso porque é irracional e é racional não nula, então é irracional (lema 2) e soma de (racional) com algo irracional é irracional (lema 1). Logo é irracional. - Conclusão: existem (de fato infinitos) números reais arbitrariamente próximos de
que são irracionais. Assim não é verdade que números muito próximos de sejam necessariamente racionais.
Comentário intuitivo: tanto os racionais quanto os irracionais são “densos” na reta real — entre
e
sempre há racionais e também sempre há irracionais.
Passo 5
Uma maneira geral de ver isso é: se
é um intervalo com
, escolha um racional
em
(existe por densidade dos racionais) e então
e é irracional (pelo lema 1). Isso mostra que há irracionais em qualquer intervalo, então sempre há irracionais “muito próximos” de qualquer ponto real.
Passo 6
Afirmação (b): “Se
é um número irracional, então
é irracional.”
Essa afirmação é VERDADEIRA.
Essa afirmação é VERDADEIRA.
Justificativa (prova por contradição):
- Suponha que
é irracional. Como é racional, necessariamente (caso contrário seria racional), portanto está bem definido. - Suponha, para contradizer, que
fosse racional. Então para inteiros com . - Daí
seria racional — contradição com a hipótese de irracional. - Conclusão:
não pode ser racional; logo é irracional.
Observação: a conclusão depende de
, mas como dito acima
é racional, então nenhum número irracional é zero — logo a hipótese já garante recíproco bem definido.
Passo 7
Afirmação (c): “Se
é um número irracional positivo, então
é um número racional.”
Essa afirmação é FALSA.
Essa afirmação é FALSA.
Justificativa (contraexemplo):
- Existem irracionais cujo quadrado é racional (por exemplo
é irracional e é racional), mas a afirmação exige que isso aconteça para todo irracional positivo . Basta então um contraexemplo para mostrar que a afirmação universal é falsa. - Tome
. Esse é irracional (soma de racional com irracional é irracional, lema 1). - Calcule
:
- Se
fosse racional, então seria racional, e então seria racional — contradição. Portanto é irracional. - Logo
é irracional e também é irracional, provando que a afirmação “todo irracional positivo tem quadrado racional” é falsa.
Resumo conceitual: para alguns irracionais o quadrado é racional (ex.:
), para outros o quadrado é irracional (ex.:
). Não há regra universal que force
a ser racional quando
é irracional.
Resposta
(a) F
(b) V
(c) F
(b) V
(c) F