Questões 5-6-7: ortogonal Questões 8-9-10: não ortogonal
Projete a1=(1,0) em a2=(1,2). Em seguida, projete o resultado de volta em a1. Desenhe estas projeções e multiplique as matrizes de projeção P1 P2 : Isto é uma projeção? Dica: o que acontece com um vetor na imagem de P1 P2 ? Ele fica parado?

Passo 1

O enunciado pede para projetar a1=(1,0) em a2=(1,2), depois projetar esse resultado de volta em a1, desenhar essas projeções e calcular a matriz do operador P1P2, onde P2 é a projeção ortogonal em a2 e P1 é a projeção ortogonal em a1. Por fim, devemos verificar se P1P2 é de fato uma projeção (isto é, se é idempotente). Para isso, usaremos a fórmula de projeção ortogonal em direção a um vetor.

Passo 2

Calcular proj a2( a1). A fórmula é
proj a2( a1) = a1cdot a2 a2cdot a2, a2
Aqui a1cdot a2=1cdot1+0cdot2=1 e a2cdot a2=1^2+2^2=5, logo
proj a2( a1) =15(1,2) =l(tfrac15,tfrac25r)

Passo 3

Projetar esse resultado na direção a1. Como a1=(1,0), temos
proj a1l(tfrac15,tfrac25r) =l(tfrac15,tfrac25r)cdot(1,0)(1,0)cdot(1,0),(1,0) =tfrac151,(1,0) =l(tfrac15,0r)
Portanto,
P1P2( a1)=(tfrac15,0)

Passo 4

Determinar as matrizes de projeção em base canônica:
P2 =151&22&4, P1 =1&00&0
Multiplicando,
P1P2 =1&00&0 ;151&22&4 =151&20&0

Passo 5

Verificar idempotência. A imagem de P1P2 é o eixo x, pois
P1P2(x,0) =15(x,0) neq(x,0) para xneq0
Logo (P1P2)^2neq P1P2, de modo que não é uma projeção.

Resposta

P1P2 =151&20&0,
que não é um operador de projeção.

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