Construa os seguintes subgrupos:
lang<=-1rang<=+em (Q,+);

Passo 1

O enunciado pede o subgrupo de (Q,+) gerado pelo elemento -1. O conteúdo usado aqui é teoria de grupos, em particular subgrupos cíclicos e definição de grupo gerado por um elemento.

Passo 2

Em qualquer grupo aditivo (G,+), o subgrupo gerado por um elemento a é dado por
lang<= arang<= = n,a mid ninZ

Passo 3

Aplicando a definição ao elemento -1, temos
lang<= -1rang<= = n(-1)mid ninZ = -nmid ninZ
Como o conjunto -n:ninZ é exatamente Z, concluímos que
lang<= -1rang<= = Z

Passo 4

Note que ZsubsetQ e que Z é fechado sob soma, contém o neutro 0 e é estável por inversos, logo é de fato um subgrupo de (Q,+).

Resposta

lang<= -1rang<=+ = Z

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