Mostre que, dado um paralelogramo A B C D, as diagonais A C e B D cortam-se ao meio. Dica: tome M como ponto médio de AC e prove que M será também o ponto médio de BD .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num paralelogramo ABCD, as diagonais AC e BD se cortam ao meio. Vamos usar geometria analítica, isto é, atribuir coordenadas aos vértices de modo que a propriedade de paralelogramo ( ABparal<=l DC e ADparal<=l BC) fique evidente, e então aplicar a fórmula do ponto médio.

Passo 2

Coloquemos
A=(0,0), B=(b,0), D=(0,d),
com bneq0 e dneq0. Como em todo paralelogramo o quarto vértice é dado por C=B+D-A, segue
C=(b,0)+(0,d)-(0,0)=(b,d)

Passo 3

Calculemos o ponto médio M do segmento AC. Pela fórmula do ponto médio,
M=l(tfrac0+b2,,tfrac0+d2r)=l(tfracb2,,tfracd2r)

Passo 4

Agora o ponto médio de BD é
l(tfracb+02,,tfrac0+d2r) =l(tfracb2,,tfracd2r),
que coincide exatamente com M. Logo, M é o ponto médio tanto de AC quanto de BD.

Resposta

As diagonais AC e BD se cortam ao meio.

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