Resolver as seguintes congruencias.
Resolva as seguintes congruências lineares:
5 x equiv 3(bmod 24)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a congruência 5x equiv 3 pmod24. Isso faz parte do estudo de congruências lineares na matemática. Basicamente, queremos encontrar um número inteiro x que, quando multiplicado por 5 e dividido por 24, deixa um resto de 3. Para isso, vamos precisar encontrar o inverso multiplicativo de 5 módulo 24.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se o inverso de 5 existe módulo 24. O inverso multiplicativo de um número a módulo m existe se e somente se a e m são coprimos, ou seja, o único divisor comum entre eles é 1.
Vamos ver:
  • Divisores de 5: 1, 5
  • Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
O único divisor comum é 1, então 5 e 24 são coprimos. Isso significa que o inverso de 5 módulo 24 existe.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o inverso de 5 módulo 24. Procura-se um número y tal que:
5 cdot y equiv 1 pmod24
Tentando valores para y, encontramos que:
5 cdot 5 = 25 equiv 1 pmod24
Então, o inverso de 5 módulo 24 é 5.

Passo 4

Com o inverso encontrado, podemos multiplicar ambos os lados da congruência original por esse inverso para resolver para x:
5x equiv 3 pmod24
Multiplicando ambos os lados por 5:
5 cdot 5x equiv 5 cdot 3 pmod24
Simplificando:
25x equiv 15 pmod24
Como 25 equiv 1 pmod24, a equação fica:
x equiv 15 pmod24

Resposta

A solução da congruência é x equiv 15 pmod24.

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