Resolver as seguintes congruencias.
Resolva as seguintes congruências lineares:
Resolva as seguintes congruências lineares:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a congruência
. Isso faz parte do estudo de congruências lineares na matemática. Basicamente, queremos encontrar um número inteiro
que, quando multiplicado por 5 e dividido por 24, deixa um resto de 3. Para isso, vamos precisar encontrar o inverso multiplicativo de 5 módulo 24.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se o inverso de 5 existe módulo 24. O inverso multiplicativo de um número
módulo
existe se e somente se
e
são coprimos, ou seja, o único divisor comum entre eles é 1.
Vamos ver:
- Divisores de 5: 1, 5
- Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
O único divisor comum é 1, então 5 e 24 são coprimos. Isso significa que o inverso de 5 módulo 24 existe.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o inverso de 5 módulo 24. Procura-se um número
tal que:
Tentando valores para
, encontramos que:
Então, o inverso de 5 módulo 24 é 5.
Passo 4
Com o inverso encontrado, podemos multiplicar ambos os lados da congruência original por esse inverso para resolver para
:
Multiplicando ambos os lados por 5:
Simplificando:
Como
, a equação fica:
Resposta
A solução da congruência é
.