Suponha que
. Explique por que
é uma base para
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem o espaço
sendo gerado pela combinação linear dos vetores
. O assunto aqui é bases de espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base, o que significa gerar um espaço e como isso se relaciona com a dimensão do espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma base de um espaço vetorial. Uma base é um conjunto de vetores que satisfaz duas condições importantes:
-
Espaço Gerado (Span): A combinação linear dos vetores da base deve cobrir todo o espaço. No caso, isso significa que qualquer vetor em
pode ser escrito como uma combinação linear de . -
Independência Linear: Nenhum vetor da base pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores da base. Ou seja, os vetores são “independente” entre si.
Essas duas propriedades garantem que a base seja eficiente para representar qualquer vetor no espaço sem redundância.
Passo 3
Agora, vamos analisar o que a questão nos dá:
. Isso significa que os vetores
geram o espaço
. Além disso, sabemos que a dimensão de
é 4, ou seja, qualquer base desse espaço precisa ter exatamente 4 vetores.
Como temos exatamente o número de vetores igual à dimensão do espaço e eles geram todo o espaço, podemos concluir que esses vetores são linearmente independentes. Se houvesse dependência linear, não precisaríamos de todos os 4 vetores para gerar o espaço, o que não é o caso aqui.
Resposta
Portanto, o conjunto
é uma base para
porque os vetores são linearmente independentes e, juntos, geram todo o espaço.