Suponha que R^4=mathscrLv1, ldots, v4. Explique por que v1, ldots, v4 é uma base para R^4.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem o espaço R^4 sendo gerado pela combinação linear dos vetores v1, ldots, v4. O assunto aqui é bases de espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base, o que significa gerar um espaço e como isso se relaciona com a dimensão do espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma base de um espaço vetorial. Uma base é um conjunto de vetores que satisfaz duas condições importantes:
  1. Espaço Gerado (Span): A combinação linear dos vetores da base deve cobrir todo o espaço. No caso, isso significa que qualquer vetor em R^4 pode ser escrito como uma combinação linear de v1, ldots, v4.
  2. Independência Linear: Nenhum vetor da base pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores da base. Ou seja, os vetores são “independente” entre si.
Essas duas propriedades garantem que a base seja eficiente para representar qualquer vetor no espaço sem redundância.

Passo 3

Agora, vamos analisar o que a questão nos dá: R^4 = mathscrLv1, ldots, v4. Isso significa que os vetores v1, ldots, v4 geram o espaço R^4. Além disso, sabemos que a dimensão de R^4 é 4, ou seja, qualquer base desse espaço precisa ter exatamente 4 vetores.
Como temos exatamente o número de vetores igual à dimensão do espaço e eles geram todo o espaço, podemos concluir que esses vetores são linearmente independentes. Se houvesse dependência linear, não precisaríamos de todos os 4 vetores para gerar o espaço, o que não é o caso aqui.

Resposta

Portanto, o conjunto v1, ldots, v4 é uma base para R^4 porque os vetores são linearmente independentes e, juntos, geram todo o espaço.

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