Construa uma segunda solução para a EDO apresentada linearmente independente a solução fornecida.
6) Encontre a solução geral para a equação diferencial homogênea dada:
a) y^prime prime-y^prime-6 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - y' - 6y = 0
O conteúdo é resolução de EDOs lineares homogêneas por meio da equação característica.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada, trocando y por e^rx:
r^2 - r - 6 = 0

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática
r^2 - r - 6 = 0
usando a fórmula de Bhaskara:
r = 1 pm raiz1 + 242 = 1 pm 52,
portanto
r1 = 3, r2 = -2
Cada raiz distinta gera uma solução fundamental:
y1 = e^3x e y2 = e^-2x.
Se y1=e^3x já for conhecida, a segunda solução linearmente independente é y2=e^-2x.

Passo 4

Como y1 e y2 são independentes, a solução geral é dada pela combinação linear
y = C1,e^3x + C2,e^-2x,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y = C1,e^3x + C2,e^-2x

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