Encontre a solução geral para a equação não-homogênea dada. Defina um intervalo onde a solução apresentada é válida.
e)
e)
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos resolver
que é uma equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes. Vamos usar o método de superposição, buscando
onde
é a solução da equação homogênea e
é uma particular.
Passo 2
A equação homogênea associada é
A equação característica é
, cujas raízes são
. Logo
Passo 3
Para o primeiro termo não homogêneo
, propomos
Então
Logo
Passo 4
Para o termo polinomial
, propomos
Calculamos
e então
Igualando coeficientes, temos
Assim
Passo 5
A solução particular total é
Logo a solução geral da equação é
Passo 6
Como a equação tem coeficientes constantes e o termo não homogêneo
é contínuo para todo
, essa solução vale em qualquer intervalo de
.