Encontre a solução geral para a equação não-homogênea dada. Defina um intervalo onde a solução apresentada é válida.
e) y^prime prime+y=e^x+x^3

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos resolver
y'' + y = e^x + x^3,
que é uma equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes. Vamos usar o método de superposição, buscando
y(x) = yh(x) + yp(x),
onde yh é a solução da equação homogênea e yp é uma particular.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' + y = 0
A equação característica é r^2 + 1 = 0, cujas raízes são r = pm i. Logo
yh(x) = C1cos x + C2sin x

Passo 3

Para o primeiro termo não homogêneo e^x, propomos
yp1(x) = A e^x
Então
yp1'' + yp1 = A e^x + A e^x = 2A e^x = e^x Longrightarrow 2A = 1 Longrightarrow A = tfrac12
Logo
yp1(x) = tfrac12 e^x

Passo 4

Para o termo polinomial x^3, propomos
yp2(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
Calculamos
yp2'' = 6ax + 2b,
e então
yp2'' + yp2 = (ax^3 + bx^2 + cx + d) + (6ax + 2b) = ax^3 + bx^2 + (6a + c)x + (2b + d) = x^3
Igualando coeficientes, temos
a = 1, b = 0, 6a + c = 0, 2b + d = 0
Longrightarrow a=1,;b=0,;c=-6,;d=0
Assim
yp2(x) = x^3 - 6x

Passo 5

A solução particular total é
yp(x) = yp1(x) + yp2(x) = tfrac12 e^x + x^3 - 6x
Logo a solução geral da equação é
y(x) = C1cos x + C2sin x + tfrac12 e^x + x^3 - 6x

Passo 6

Como a equação tem coeficientes constantes e o termo não homogêneo e^x + x^3 é contínuo para todo xinR, essa solução vale em qualquer intervalo de R.

Resposta

y(x) = C1cos x + C2sin x + tfrac12 e^x + x^3 - 6x, xinR

Exercícios relacionados