Encontre a solução geral para a equação não-homogênea dada. Defina um intervalo onde a solução apresentada é válida.
k)
k)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO não homogênea de 3ª ordem
Este é um problema de EDO linear com coeficientes constantes. Para resolver, vamos achar primeiro a solução geral da homogênea e depois uma particular por coeficientes indeterminados.
Passo 2
A parte homogênea é
O polinômio característico é
As raízes são
(multiplicidade 2) e
. Logo, a solução homogênea é
Passo 3
Para a parte particular, como o termo não homogêneo é
, usamos coeficientes indeterminados e propomos
Isso aproveita a forma de
e garante flexibilidade para ajustar
e
.
Passo 4
Vamos calcular
. Se
, então as derivadas de
dão
Como
temos
substituindo tudo, obtemos
Passo 5
Igualando ao lado direito
, igualamos coeficientes:
Da segunda equação vem
. Substituindo na primeira:
Logo
Passo 6
A solução geral é a soma
Como a EDO tem coeficientes constantes e não há singularidades, essa solução vale para todo
.
Resposta
y(x)=C_{1}+C_{2}x+C_{3}e{-x}+e{x}\Bigl(-\tfrac{1}{10}\cos x+\tfrac{1}{5}\sin x\Bigr),\quad x\in(-\infty,\infty).