Encontre a solução geral para a equação não-homogênea dada. Defina um intervalo onde a solução apresentada é válida.
k) y^prime prime prime+y^prime prime=e^x cos (x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO não homogênea de 3ª ordem
y''' + y'' = e^x cos x
Este é um problema de EDO linear com coeficientes constantes. Para resolver, vamos achar primeiro a solução geral da homogênea e depois uma particular por coeficientes indeterminados.

Passo 2

A parte homogênea é
y''' + y'' = 0
O polinômio característico é
r^3 + r^2 = r^2(r + 1) = 0
As raízes são r = 0 (multiplicidade 2) e r = -1. Logo, a solução homogênea é
yh = C1 + C2 x + C3 e^-x

Passo 3

Para a parte particular, como o termo não homogêneo é e^x cos x, usamos coeficientes indeterminados e propomos
yp = e^xl(Acos x + Bsin xr)
Isso aproveita a forma de e^(1+i)x e garante flexibilidade para ajustar cos x e sin x.

Passo 4

Vamos calcular yp'''+yp''. Se f(x)=Acos x+Bsin x, então as derivadas de yp=e^x f dão
yp'''+yp''=e^xl(2f+5f'+4f''+f'''r)
Como
f=Acos x+Bsin x,
temos
f'=-Asin x+Bcos x,
f''=-f,
f'''=-f',
substituindo tudo, obtemos
yp'''+yp''=e^xl((-2A+4B)cos x+(-4A-2B)sin xr)

Passo 5

Igualando ao lado direito e^xcos x, igualamos coeficientes:
-2A+4B=1,
-4A-2B=0
Da segunda equação vem B=-2A. Substituindo na primeira:
-2A+4(-2A)=-2A-8A=-10A=1implies A=-tfrac110,
B=-2(-tfrac110)=tfrac15
Logo
yp=e^xl(-tfrac110cos x+tfrac15sin xr)

Passo 6

A solução geral é a soma
y = yh + yp = C1 + C2 x + C3 e^-x + e^xl(-tfrac110cos x+tfrac15sin xr)
Como a EDO tem coeficientes constantes e não há singularidades, essa solução vale para todo xinR.

Resposta

y(x)=C_{1}+C_{2}x+C_{3}e{-x}+e{x}\Bigl(-\tfrac{1}{10}\cos x+\tfrac{1}{5}\sin x\Bigr),\quad x\in(-\infty,\infty).

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