Construa uma sequência an in I=(2,3) cujo limite para n infty seja um dos extremos de I.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos construir uma sequência an que está dentro do intervalo I = (2,3), ou seja, todos os termos da sequência devem ser maiores que 2 e menores que 3. Além disso, o limite dessa sequência, quando n tende ao infinito, deve ser igual a um dos extremos de I, ou seja, deve convergir para 2 ou para 3. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos básicos de sequências e limites.

Passo 2

Vamos escolher para qual extremo queremos que a sequência convirja. Vamos optar por 3. Isso significa que, conforme n aumenta, os termos an devem se aproximar cada vez mais de 3, mas sempre permanecendo dentro do intervalo (2,3).

Passo 3

Uma maneira simples de construir essa sequência é fazer com que os termos se aproximem de 3 adicionando cada vez menos a uma quantidade que diminui com n. Podemos definir a sequência da seguinte forma:
an = 3 - 1n

Passo 4

Vamos verificar se essa sequência atende aos requisitos:
  1. Pertence a (2,3):
    Para qualquer n > 0,
    an = 3 - 1n
    Como 1n > 0, então an < 3.
    Além disso, 1n < 1 para n > 1, então
    an = 3 - 1n > 3 - 1 = 2
    Portanto, 2 < an < 3, o que satisfaz a condição de estar em I = (2,3).
  2. Convergência para 3:
    Calculamos o limite da sequência quando n tende ao infinito:
    limn to infty an = limn to infty (3 - 1n) = 3 - 0 = 3
    Portanto, a sequência an converge para 3, que é um dos extremos de I.

Resposta

Uma sequência que atende às condições é an = 3 - 1n, onde cada termo está no intervalo (2,3) e o limite quando n tende ao infinito é 3.

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