Construa uma sequência
cujo limite para
seja um dos extremos de
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos construir uma sequência
que está dentro do intervalo
, ou seja, todos os termos da sequência devem ser maiores que 2 e menores que 3. Além disso, o limite dessa sequência, quando
tende ao infinito, deve ser igual a um dos extremos de
, ou seja, deve convergir para 2 ou para 3. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos básicos de sequências e limites.
Passo 2
Vamos escolher para qual extremo queremos que a sequência convirja. Vamos optar por 3. Isso significa que, conforme
aumenta, os termos
devem se aproximar cada vez mais de 3, mas sempre permanecendo dentro do intervalo (2,3).
Passo 3
Uma maneira simples de construir essa sequência é fazer com que os termos se aproximem de 3 adicionando cada vez menos a uma quantidade que diminui com
. Podemos definir a sequência da seguinte forma:
Passo 4
Vamos verificar se essa sequência atende aos requisitos:
-
Pertence a
: Para qualquer, Como, então . Além disso,para , então Portanto,, o que satisfaz a condição de estar em . -
Convergência para 3:Calculamos o limite da sequência quando
tende ao infinito: Portanto, a sequênciaconverge para 3, que é um dos extremos de .
Resposta
Uma sequência que atende às condições é
, onde cada termo está no intervalo
e o limite quando
tende ao infinito é 3.