Seja
, mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência definida por $ a_{n} = \frac{n}{n+1} $ e precisa mostrar que a raiz quadrada de $ a_{n} $ é maior que $ a_{n} $ mesmo, ou seja, $ \sqrt{a_{n}} > a_{n} $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sequências e propriedades das raízes e desigualdades. Vamos passo a passo para entender tudo direitinho.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é $ a_{n} = \frac{n}{n+1} $. Aqui, $ n $ é um número natural (1, 2, 3, …), e $ a_{n} $ é uma fração onde o numerador é $ n $ e o denominador é $ n+1 $. Conforme $ n $ aumenta, a fração se aproxima de 1, mas sempre é um pouco menor que 1.
Passo 3
Agora, vamos analisar a expressão $ \sqrt{a_{n}} $. A raiz quadrada de um número entre 0 e 1 sempre é maior que o próprio número. Por quê? Porque, por exemplo, se você pegar $ \sqrt{0,25} = 0,5 $, que é maior que 0,25. Isso acontece porque, para números menores que 1, elevar ao quadrado diminui o valor, então a operação inversa (raiz quadrada) aumenta o número.
Passo 4
Com isso em mente, como sabemos que $ a_{n} = \frac{n}{n+1} < 1 $ para todo $ n $ natural, podemos aplicar a propriedade mencionada: $ \sqrt{a_{n}} > a_{n} $. Isso significa que a raiz quadrada da nossa sequência sempre será maior que a própria sequência.
Resposta
Portanto, mostramos que para toda $ n $ natural, $ \sqrt{\frac{n}{n+1}} > \frac{n}{n+1} $.