Em relação à função definida em (75). Se x, y in C e x, então f(x) a menos que x e y sejam os extremos de um dos intervalos abertos removidos de [0,1] na construção de C. Além disso, para o caso em que x e y sejam os extremos de um intervalo aberto removido na construção de C, prove que f(x)=f(y). Sendo (75)
f: C [0,1], x=sumj=1^infty aj 3^-j mapsto f(x):=sumj=1^infty aj 2^2-j

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função $ f $ definida no Conjunto de Cantor $ C $, que mapeia cada ponto $ x $ de $ C $ para um número em f . O enunciado quer que provemos duas coisas:
  1. Se $ x < y $ em $ C $, então $ f(x) < f(y) $, a menos que $ x $ e $ y $ sejam os extremos de um dos intervalos abertos removidos na construção de $ C $.
  2. Se $ x $ e $ y $ são esses extremos, então $ f(x) = f(y) $.
Para resolver isso, vamos analisar como a função $ f $ está definida e como o Conjunto de Cantor $ C $ é construído, usando séries em potências de 3 e 2.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a definição da função $ f $:
f
Aqui, $ x $ está representado como uma série em base 3:
f(x) = sumj=1^infty aj 2^2-j
No Conjunto de Cantor $ C $, cada $ a_j $ pode ser 0 ou 2, pois na construção de $ C $ removemos os intervalos médios em cada etapa.

Passo 3

Agora, vamos mostrar que se $ x < y $ em $ C $, então $ f(x) < f(y) $, exceto quando $ x $ e $ y $ são os extremos de um intervalo removido.
Como $ x $ e $ y $ estão em $ C $, suas representações em base 3 não contêm o dígito 1. Suponha que em alguma posição $ k $, $ a_k = 0 $ em $ x $ e $ a_k = 2 $ em $ y $, e para todas as posições anteriores $ j < k $, $ a_j $ são iguais. Então:
x < y
C
Como $ 0 < 2 $, temos $ x < y $.

Passo 4

Aplicando a função $ f $ nesses pontos:
f
f(x) = sumj=1^k-1 aj 2^2-j + 0 cdot 2^2-k + dots
A diferença entre $ f(y) $ e $ f(x) $ é:
f(y) = sumj=1^k-1 aj 2^2-j + 2 cdot 2^2-k + dots
Como $ 2^{3 - k} > 0 $, temos $ f(y) > f(x) $.

Passo 5

Agora, vamos considerar o caso especial onde $ x $ e $ y $ são os extremos de um intervalo removido na construção de $ C $. Nesses pontos, suas representações em base 3 acabam com sequências de 0’s para $ x $ e de 2’s para $ y $, ou vice-versa.
Por exemplo:
x
y
Aplicando $ f $:
C
Pois as contribuições adicionais após $ k-1 $ cancelam-se, resultando em $ f(x) = f(y) $.

Resposta

Portanto, provamos que $ f(x) < f(y) $ para $ x < y $ em $ C $, exceto quando $ x $ e $ y $ são os extremos de um intervalo removido na construção de $ C $. Além disso, nesses casos especiais, $ f(x) = f(y) $.

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