Em relação à função definida em (75). Se
e
, então
a menos que
e
sejam os extremos de um dos intervalos abertos removidos de
na construção de
. Além disso, para o caso em que
e
sejam os extremos de um intervalo aberto removido na construção de
, prove que
. Sendo (75)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função $ f $ definida no Conjunto de Cantor $ C $, que mapeia cada ponto $ x $ de $ C $ para um número em
. O enunciado quer que provemos duas coisas:
- Se $ x < y $ em $ C $, então $ f(x) < f(y) $, a menos que $ x $ e $ y $ sejam os extremos de um dos intervalos abertos removidos na construção de $ C $.
- Se $ x $ e $ y $ são esses extremos, então $ f(x) = f(y) $.
Para resolver isso, vamos analisar como a função $ f $ está definida e como o Conjunto de Cantor $ C $ é construído, usando séries em potências de 3 e 2.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a definição da função $ f $:
Aqui, $ x $ está representado como uma série em base 3:
No Conjunto de Cantor $ C $, cada $ a_j $ pode ser 0 ou 2, pois na construção de $ C $ removemos os intervalos médios em cada etapa.
Passo 3
Agora, vamos mostrar que se $ x < y $ em $ C $, então $ f(x) < f(y) $, exceto quando $ x $ e $ y $ são os extremos de um intervalo removido.
Como $ x $ e $ y $ estão em $ C $, suas representações em base 3 não contêm o dígito 1. Suponha que em alguma posição $ k $, $ a_k = 0 $ em $ x $ e $ a_k = 2 $ em $ y $, e para todas as posições anteriores $ j < k $, $ a_j $ são iguais. Então:
Como $ 0 < 2 $, temos $ x < y $.
Passo 4
Aplicando a função $ f $ nesses pontos:
A diferença entre $ f(y) $ e $ f(x) $ é:
Como $ 2^{3 - k} > 0 $, temos $ f(y) > f(x) $.
Passo 5
Agora, vamos considerar o caso especial onde $ x $ e $ y $ são os extremos de um intervalo removido na construção de $ C $. Nesses pontos, suas representações em base 3 acabam com sequências de 0’s para $ x $ e de 2’s para $ y $, ou vice-versa.
Por exemplo:
Aplicando $ f $:
Pois as contribuições adicionais após $ k-1 $ cancelam-se, resultando em $ f(x) = f(y) $.
Resposta
Portanto, provamos que $ f(x) < f(y) $ para $ x < y $ em $ C $, exceto quando $ x $ e $ y $ são os extremos de um intervalo removido na construção de $ C $. Além disso, nesses casos especiais, $ f(x) = f(y) $.