Construa o sistema linear para determinar os coeficientes do polinômio interpolador a partir dos pontos dados, e resolva pelo método da eliminação de Gauss.
Determine P(x)=a_{3} x^{3}+a_{2} x^{2}+a_{1} x+a_{0} para os pontos: (0,1),(1,3),(2,5),(3,7).

Passo 1

O enunciado pede para determinar os coeficientes do polinômio
P(x)=a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}
de grau até 3 que passa pelos pontos (0,1), (1,3), (2,5), (3,7).
Informações dadas:
(0,1),\quad (1,3),\quad (2,5),\quad (3,7).
O que precisa ser encontrado: os coeficientes \,a_{3},a_{2},a_{1},a_{0}\, e, por consequência, o polinômio P(x).

Passo 2

Formamos as equações impondo P(x_{i})=y_{i} para cada ponto (substituir x na expressão do polinômio):
\begin{cases} a_{3}\cdot 0^{3} + a_{2}\cdot 0^{2} + a_{1}\cdot 0 + a_{0} = 1,\\[4pt] a_{3}\cdot 1^{3} + a_{2}\cdot 1^{2} + a_{1}\cdot 1 + a_{0} = 3,\\[4pt] a_{3}\cdot 2^{3} + a_{2}\cdot 2^{2} + a_{1}\cdot 2 + a_{0} = 5,\\[4pt] a_{3}\cdot 3^{3} + a_{2}\cdot 3^{2} + a_{1}\cdot 3 + a_{0} = 7. \end{cases}
Simplificando as potências:
\begin{cases} a_{0} = 1,\\[4pt] a_{3}+a_{2}+a_{1}+a_{0}=3,\\[4pt] 8a_{3}+4a_{2}+2a_{1}+a_{0}=5,\\[4pt] 27a_{3}+9a_{2}+3a_{1}+a_{0}=7. \end{cases}]

Passo 3

Escrevemos o sistema na forma matricial aumentada (colunas: a_{3},a_{2},a_{1},a_{0} | RHS):
\left(\begin{array}{cccc|c} 0 & 0 & 0 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 1 & 1 & 3\\[4pt] 8 & 4 & 2 & 1 & 5\\[4pt] 27 & 9 & 3 & 1 & 7 \end{array}\right).]

Passo 4

Breve explicação do método de Eliminação de Gauss (passo a passo):
  • Objetivo: transformar a matriz aumentada numa matriz triangular superior usando operações elementares (trocar linhas, multiplicar linha por escalar não nulo, somar múltiplo de uma linha em outra).
  • Depois, resolver por substituição regressiva (back substitution) para obter os coeficientes.
    Vou aplicar essas operações explicitamente e explicar cada conta.

Passo 5

Para obter um pivô não nulo na primeira linha trocamos a linha 1 com a linha 2 (R1 ↔ R2). Matriz após a troca:
\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 3\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 1\\[4pt] 8 & 4 & 2 & 1 & 5\\[4pt] 27 & 9 & 3 & 1 & 7 \end{array}\right).]

Passo 6

Eliminamos as entradas abaixo do pivô da primeira coluna (usar R1 como pivô):
  • R3 \leftarrow R3 - 8\cdot R1
  • R4 \leftarrow R4 - 27\cdot R1
Calculando R3:
R3 = [8,4,2,1\mid5] - 8\cdot[1,1,1,1\mid3] = [0,-4,-6,-7\mid -19].
Calculando R4:
R4 = [27,9,3,1\mid7] - 27\cdot[1,1,1,1\mid3] = [0,-18,-24,-26\mid -74].
Matriz após eliminação:
\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 3\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & -4 & -6 & -7 & -19\\[4pt] 0 & -18 & -24 & -26 & -74 \end{array}\right).]

Passo 7

Trocamos a segunda linha com a terceira para trazer um pivô não nulo na segunda coluna (R2 ↔ R3):
\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 3\\[4pt] 0 & -4 & -6 & -7 & -19\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & -18 & -24 & -26 & -74 \end{array}\right).]

Passo 8

Eliminamos a entrada abaixo do pivô da segunda coluna usando R2 (pivô -4 em coluna 2):
Fator multiplicador para zerar R4 na coluna 2 é \dfrac{-18}{-4}=\dfrac{9}{2}. Fazemos
R4 \leftarrow R4 - \frac{9}{2}\,R2.
Calculando term a term:
\begin{aligned} \text{coluna 2: }& -18 - \frac{9}{2}\cdot(-4) = -18 + 18 = 0,\\[4pt] \text{coluna 3: }& -24 - \frac{9}{2}\cdot(-6) = -24 + 27 = 3,\\[4pt] \text{coluna 4: }& -26 - \frac{9}{2}\cdot(-7) = -26 + \frac{63}{2} = \frac{11}{2},\\[4pt] \text{RHS: }& -74 - \frac{9}{2}\cdot(-19) = -74 + \frac{171}{2} = \frac{23}{2}. \end{aligned}
Matriz fica:
\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 3\\[4pt] 0 & -4 & -6 & -7 & -19\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 3 & \frac{11}{2} & \frac{23}{2} \end{array}\right).]

Passo 9

Queremos agora um pivô na terceira coluna; trocamos R3 e R4 (R3 ↔ R4) para obter o pivô \,3 na posição (3,3):
\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 3\\[4pt] 0 & -4 & -6 & -7 & -19\\[4pt] 0 & 0 & 3 & \dfrac{11}{2} & \dfrac{23}{2}\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right).
Agora a matriz está em forma triangular superior (não necessariamente com 1’s na diagonal, mas pronta para substituição regressiva).]

Passo 10

Fazemos substituição regressiva para obter os coeficientes.
Equação da linha 4:
0\cdot a_{3}+0\cdot a_{2}+0\cdot a_{1}+1\cdot a_{0}=1 \implies a_{0}=1.
Equação da linha 3:
3a_{1}+\frac{11}{2}a_{0}=\frac{23}{2}.
Substituindo a_{0}=1:
3a_{1}+\frac{11}{2}=\frac{23}{2}\implies 3a_{1}=\frac{23}{2}-\frac{11}{2}=\frac{12}{2}=6\implies a_{1}=2.
Equação da linha 2:
-4a_{2}-6a_{1}-7a_{0}=-19.
Substituindo a_{1}=2 e a_{0}=1:
-4a_{2}-6\cdot 2-7\cdot 1=-19\implies -4a_{2}-12-7=-19\implies -4a_{2}-19=-19\implies -4a_{2}=0\implies a_{2}=0.
Equação da linha 1:
a_{3}+a_{2}+a_{1}+a_{0}=3.
Substituindo a_{2}=0,\,a_{1}=2,\,a_{0}=1:
a_{3}+0+2+1=3\implies a_{3}+3=3\implies a_{3}=0.

Passo 11

Encontramos todos os coeficientes:
a_{3}=0,\quad a_{2}=0,\quad a_{1}=2,\quad a_{0}=1.
Portanto o polinômio interpolador é simples e pode ser escrito diretamente.

Resposta

P(x)=2x+1

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