Construa o sistema linear para determinar os coeficientes do polinômio interpolador a partir dos pontos dados, e resolva pelo método da eliminação de Gauss.
Determine P(x)=a_{3} x^{3}+a_{2} x^{2}+a_{1} x+a_{0} para os pontos: (0,1),(1,3),(2,5),(3,7).
Passo 1
O enunciado pede para determinar os coeficientes do polinômio
P(x)=a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}
de grau até 3 que passa pelos pontos (0,1), (1,3), (2,5), (3,7).
Informações dadas:
(0,1),\quad (1,3),\quad (2,5),\quad (3,7).
O que precisa ser encontrado: os coeficientes \,a_{3},a_{2},a_{1},a_{0}\, e, por consequência, o polinômio P(x).
Passo 2
Formamos as equações impondo P(x_{i})=y_{i} para cada ponto (substituir x na expressão do polinômio):
Breve explicação do método de Eliminação de Gauss (passo a passo):
Objetivo: transformar a matriz aumentada numa matriz triangular superior usando operações elementares (trocar linhas, multiplicar linha por escalar não nulo, somar múltiplo de uma linha em outra).
Depois, resolver por substituição regressiva (back substitution) para obter os coeficientes.
Vou aplicar essas operações explicitamente e explicar cada conta.
Passo 5
Para obter um pivô não nulo na primeira linha trocamos a linha 1 com a linha 2 (R1 ↔ R2). Matriz após a troca:
Eliminamos a entrada abaixo do pivô da segunda coluna usando R2 (pivô -4 em coluna 2):
Fator multiplicador para zerar R4 na coluna 2 é \dfrac{-18}{-4}=\dfrac{9}{2}. Fazemos