Construa o sistema linear para determinar os coeficientes do polinômio interpolador a partir dos pontos dados, e resolva pelo método da eliminação de Gauss.
Determine P(x)=a_{2} x^{2}+a_{1} x+a_{0} para os pontos: (-1,1),(0,0),(1,1).

Passo 1

O enunciado pede para determinar o polinômio interpolador quadrático
P(x)=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}
que passa pelos pontos (-1,1), (0,0) e (1,1).
Informações dadas:
(-1,1),\quad (0,0),\quad (1,1).
Pergunta a responder:
Determinar os coeficientes a_{2}, a_{1} e a_{0} e, portanto, encontrar P(x).

Passo 2

Construo as equações impondo que o polinômio assume os valores dados nos pontos (substituição direta):
Para (-1,1):
a_{2}(-1)^{2}+a_{1}(-1)+a_{0}=1
que simplifica para
a_{2}-a_{1}+a_{0}=1.
Para (0,0):
a_{2}\cdot 0^{2}+a_{1}\cdot 0+a_{0}=0
ou seja
a_{0}=0.
Para (1,1):
a_{2}\cdot 1^{2}+a_{1}\cdot 1+a_{0}=1
ou seja
a_{2}+a_{1}+a_{0}=1.

Passo 3

Escrevo o sistema linear formado pelas três equações (cada equação corresponde a um ponto). Colocando na forma dos coeficientes de (a_{2},a_{1},a_{0}) com a coluna ampliada dos termos independentes, obtenho a matriz aumentada:
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & \vert & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & \vert & 0\\[4pt] 1 & 1 & 1 & \vert & 1 \end{pmatrix}.
Interpretação: cada linha é uma equação linear; por exemplo a primeira linha corresponde a 1\cdot a_{2}+(-1)\cdot a_{1}+1\cdot a_{0}=1.]

Passo 4

Vou resolver pelo método da eliminação de Gauss. Lembra do que isso significa (aula rápida):
  • Representamos o sistema pela matriz aumentada.
  • Aplicamos operações elementares por linha: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar a uma linha um múltiplo de outra. Essas operações não mudam o conjunto de soluções.
  • O objetivo é obter uma matriz triangular superior (ou forma escalonada) para então fazer substituição regressiva (back-substitution) e encontrar as incógnitas.

Passo 5

Faço operações linha a linha, mostrando o raciocínio:
Matriz inicial:
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & \vert & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & \vert & 0\\[4pt] 1 & 1 & 1 & \vert & 1 \end{pmatrix}.
Primeira operação: eliminar o coeficiente da coluna 1 na linha 3 usando a linha 1 como pivô. Faço R_{3}\leftarrow R_{3}-R_{1}:
R_{3}: (1,\,1,\,1\,\vert\,1) - (1,\,-1,\,1\,\vert\,1) = (0,\,2,\,0\,\vert\,0).
Matriz após a operação:
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & \vert & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & \vert & 0\\[4pt] 0 & 2 & 0 & \vert & 0 \end{pmatrix}.
Agora quero um pivô não nulo na segunda linha na coluna 2. Atualmente a segunda linha tem zeros nas duas primeiras colunas, e a terceira linha tem 2 na coluna 2. Troco R_{2} e R_{3} para colocar esse pivô na segunda linha:
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & \vert & 1\\[4pt] 0 & 2 & 0 & \vert & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & \vert & 0 \end{pmatrix}.
Agora normalizo o pivô da segunda linha dividindo R_{2} por 2: R_{2}\leftarrow \tfrac{1}{2}R_{2}:
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & \vert & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & \vert & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & \vert & 0 \end{pmatrix}.
Em seguida uso o pivô da segunda linha para eliminar o coeficiente -1 na coluna 2 da primeira linha: faço R_{1}\leftarrow R_{1}+R_{2} (porque R_{1} tem -1 e R_{2} tem 1):
R_{1}: (1,\,-1,\,1\,\vert\,1) + (0,\,1,\,0\,\vert\,0) = (1,\,0,\,1\,\vert\,1).
Matriz agora:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & \vert & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & \vert & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & \vert & 0 \end{pmatrix}.
Por fim, uso a terceira linha (pivô em coluna 3) para eliminar o coeficiente 1 na coluna 3 da primeira linha: R_{1}\leftarrow R_{1}-R_{3}:
R_{1}: (1,\,0,\,1\,\vert\,1) - (0,\,0,\,1\,\vert\,0) = (1,\,0,\,0\,\vert\,1).
Matriz escalonada final (forma reduzida por linhas neste caso):
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \vert & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & \vert & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & \vert & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Interpreto a matriz final em termos das incógnitas (a_{2},a_{1},a_{0}):
Da primeira linha: 1\cdot a_{2}+0\cdot a_{1}+0\cdot a_{0}=1
a_{2}=1.
Da segunda linha: a_{1}=0.
Da terceira linha: a_{0}=0.
Também isso já podia ser visto diretamente antes por substituição (da equação a_{0}=0 e depois resolvendo as duas restantes), mas a eliminação organiza e sistematiza isso.

Passo 7

Com os coeficientes encontrados monto o polinômio:
P(x)=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=1\cdot x^{2}+0\cdot x+0.
Portanto
P(x)=x^{2}.

Resposta

P(x)=x^{2}

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