Construa o sistema linear para determinar os coeficientes do polinômio interpolador a partir dos pontos dados, e resolva pelo método da eliminação de Gauss.
Determine P(x)=a_{2} x^{2}+a_{1} x+a_{0} para os pontos: (-1,1),(0,0),(1,1).
Passo 1
O enunciado pede para determinar o polinômio interpolador quadrático
P(x)=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}
que passa pelos pontos (-1,1), (0,0) e (1,1).
Informações dadas:
(-1,1),\quad (0,0),\quad (1,1).
Pergunta a responder:
Determinar os coeficientes a_{2}, a_{1} e a_{0} e, portanto, encontrar P(x).
Passo 2
Construo as equações impondo que o polinômio assume os valores dados nos pontos (substituição direta):
Para (-1,1):
a_{2}(-1)^{2}+a_{1}(-1)+a_{0}=1
que simplifica para
a_{2}-a_{1}+a_{0}=1.
Para (0,0):
a_{2}\cdot 0^{2}+a_{1}\cdot 0+a_{0}=0
ou seja
a_{0}=0.
Para (1,1):
a_{2}\cdot 1^{2}+a_{1}\cdot 1+a_{0}=1
ou seja
a_{2}+a_{1}+a_{0}=1.
Passo 3
Escrevo o sistema linear formado pelas três equações (cada equação corresponde a um ponto). Colocando na forma dos coeficientes de (a_{2},a_{1},a_{0}) com a coluna ampliada dos termos independentes, obtenho a matriz aumentada:
Interpretação: cada linha é uma equação linear; por exemplo a primeira linha corresponde a 1\cdot a_{2}+(-1)\cdot a_{1}+1\cdot a_{0}=1.]
Passo 4
Vou resolver pelo método da eliminação de Gauss. Lembra do que isso significa (aula rápida):
Representamos o sistema pela matriz aumentada.
Aplicamos operações elementares por linha: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar a uma linha um múltiplo de outra. Essas operações não mudam o conjunto de soluções.
O objetivo é obter uma matriz triangular superior (ou forma escalonada) para então fazer substituição regressiva (back-substitution) e encontrar as incógnitas.
Passo 5
Faço operações linha a linha, mostrando o raciocínio:
Agora quero um pivô não nulo na segunda linha na coluna 2. Atualmente a segunda linha tem zeros nas duas primeiras colunas, e a terceira linha tem 2 na coluna 2. Troco R_{2} e R_{3} para colocar esse pivô na segunda linha:
Em seguida uso o pivô da segunda linha para eliminar o coeficiente -1 na coluna 2 da primeira linha: faço R_{1}\leftarrow R_{1}+R_{2} (porque R_{1} tem -1 e R_{2} tem 1):
Interpreto a matriz final em termos das incógnitas (a_{2},a_{1},a_{0}):
Da primeira linha: 1\cdot a_{2}+0\cdot a_{1}+0\cdot a_{0}=1 dá
a_{2}=1.
Da segunda linha: a_{1}=0.
Da terceira linha: a_{0}=0.
Também isso já podia ser visto diretamente antes por substituição (da equação a_{0}=0 e depois resolvendo as duas restantes), mas a eliminação organiza e sistematiza isso.
Passo 7
Com os coeficientes encontrados monto o polinômio: