Construa o sistema linear para determinar os coeficientes do polinômio interpolador a partir dos pontos dados, e resolva pelo método da eliminação de Gauss.
Determine P(x)=a_{2} x^{2}+a_{1} x+a_{0} para os pontos: (0,1),(1,2),(2,5).
Passo 1
O enunciado pede para determinar os coeficientes do polinômio interpolador de grau 2
P(x)=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}
que passa pelos pontos (0,1),\;(1,2),\;(2,5). Informações relevantes dadas:
(0,1),\qquad (1,2),\qquad (2,5).
O objetivo final é encontrar \,a_{2},a_{1},a_{0}\, e, portanto, escrever P(x).
Passo 2
Construímos um sistema linear impondo que P(x) assuma o valor dado em cada ponto, isto é, substituímos as abscissas na expressão de P(x) e igualamos às ordenadas:
Vou resolver por eliminação de Gauss (operações elementares sobre linhas). Lembre que operações permitidas são: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, e somar à uma linha um múltiplo de outra.]
Passo 4
Primeiro, quero um pivô não nulo na primeira linha (coluna de a_{2}). Troco a linha 1 com a linha 2:
Finalmente, uso o pivô da terceira coluna (já é 1) para zerar acima:
Para zerar o elemento em R_{1,3}=-\tfrac{1}{2}, faço R_{1}\leftarrow R_{1}+\tfrac{1}{2}R_{3}. Isso altera o termo constante em R_{1}: \tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}\cdot 1=1.
Para zerar o elemento em R_{2,3}=\tfrac{3}{2}, faço R_{2}\leftarrow R_{2}-\tfrac{3}{2}R_{3}. O termo constante em R_{2}: \tfrac{3}{2}-\tfrac{3}{2}\cdot 1=0.
Após essas operações obtemos a matriz em forma reduzida