Construa o sistema linear para determinar os coeficientes do polinômio interpolador a partir dos pontos dados, e resolva pelo método da eliminação de Gauss.
Determine P(x)=a_{2} x^{2}+a_{1} x+a_{0} para os pontos: (0,1),(1,2),(2,5).

Passo 1

O enunciado pede para determinar os coeficientes do polinômio interpolador de grau 2
P(x)=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}
que passa pelos pontos (0,1),\;(1,2),\;(2,5). Informações relevantes dadas:
(0,1),\qquad (1,2),\qquad (2,5).
O objetivo final é encontrar \,a_{2},a_{1},a_{0}\, e, portanto, escrever P(x).

Passo 2

Construímos um sistema linear impondo que P(x) assuma o valor dado em cada ponto, isto é, substituímos as abscissas na expressão de P(x) e igualamos às ordenadas:
Para (0,1):
a_{2}\cdot 0^{2}+a_{1}\cdot 0+a_{0}=1 \quad\Longrightarrow\quad a_{0}=1.
Para (1,2):
a_{2}\cdot 1^{2}+a_{1}\cdot 1+a_{0}=2 \quad\Longrightarrow\quad a_{2}+a_{1}+a_{0}=2.
Para (2,5):
a_{2}\cdot 2^{2}+a_{1}\cdot 2+a_{0}=5 \quad\Longrightarrow\quad 4a_{2}+2a_{1}+a_{0}=5.
Assim o sistema linear para (a_{2},a_{1},a_{0}) é
\begin{cases} a_{0}=1,\\[4pt] a_{2}+a_{1}+a_{0}=2,\\[4pt] 4a_{2}+2a_{1}+a_{0}=5. \end{cases}]

Passo 3

Passamos o sistema para a forma de matriz aumentada. Ordenando as colunas como (a_{2},a_{1},a_{0}), a matriz aumentada é
\left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 0 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 1 & 2\\[4pt] 4 & 2 & 1 & 5 \end{array}\right).
Vou resolver por eliminação de Gauss (operações elementares sobre linhas). Lembre que operações permitidas são: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, e somar à uma linha um múltiplo de outra.]

Passo 4

Primeiro, quero um pivô não nulo na primeira linha (coluna de a_{2}). Troco a linha 1 com a linha 2:
R_{1}\leftrightarrow R_{2}\quad\Longrightarrow\quad \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1\\[4pt] 4 & 2 & 1 & 5 \end{array}\right).
Agora elimino o elemento abaixo do pivô (coluna 1, linha 3) usando R_{3}\leftarrow R_{3}-4R_{1}:
Calculando termo a termo:
4-4\cdot 1=0,\quad 2-4\cdot 1=-2,\quad 1-4\cdot 1=-3,\quad 5-4\cdot 2=-3.
Resultado:
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & -2 & -3 & -3 \end{array}\right).]

Passo 5

Quero um pivô na segunda coluna. A linha 2 tem zero nessa coluna, mas a linha 3 tem -2. Troco R_{2} e R_{3}:
R_{2}\leftrightarrow R_{3}\quad\Longrightarrow\quad \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2\\[4pt] 0 & -2 & -3 & -3\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right).
Normalizo o pivô da linha 2 dividindo por -2: R_{2}\leftarrow \dfrac{1}{-2}R_{2}. Assim:
0,\; -2/(-2)=1,\; -3/(-2)=\tfrac{3}{2},\; -3/(-2)=\tfrac{3}{2}.
Então
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 1 & \tfrac{3}{2} & \tfrac{3}{2}\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right).
Agora elimino o elemento acima do pivô na coluna 2: R_{1}\leftarrow R_{1}-R_{2}.
Calculando:
1-0=1,\quad 1-1=0,\quad 1-\tfrac{3}{2}=-\tfrac{1}{2},\quad 2-\tfrac{3}{2}=\tfrac{1}{2}.
A matriz fica
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & 1 & \tfrac{3}{2} & \tfrac{3}{2}\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right).]

Passo 6

Finalmente, uso o pivô da terceira coluna (já é 1) para zerar acima:
  • Para zerar o elemento em R_{1,3}=-\tfrac{1}{2}, faço R_{1}\leftarrow R_{1}+\tfrac{1}{2}R_{3}. Isso altera o termo constante em R_{1}: \tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}\cdot 1=1.
  • Para zerar o elemento em R_{2,3}=\tfrac{3}{2}, faço R_{2}\leftarrow R_{2}-\tfrac{3}{2}R_{3}. O termo constante em R_{2}: \tfrac{3}{2}-\tfrac{3}{2}\cdot 1=0.
Após essas operações obtemos a matriz em forma reduzida
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right).
Isto significa, lendo diretamente:
a_{2}=1,\qquad a_{1}=0,\qquad a_{0}=1.]

Passo 7

Interpretando os coeficientes encontrados, o polinômio interpolador é
P(x)=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=1\cdot x^{2}+0\cdot x+1=x^{2}+1.

Resposta

P(x)=x^{2}+1

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