Em uma pesquisa sobre consumo de refrigerantes, foram consideradas três marcas do mercado: Gelato, Delícia e Suave. Após a aplicação da pesquisa foi constatado que em um intervalo de tempo as pessoas mudam a marca do refrigerante consumido e foram
determinadas as seguintes probabilidades de mudança de uma marca para outra (taxas de passagem) organizadas na matriz , onde probabilidade de escolha do refrigerante , após consumo do refrigerante . Considere que os refrigerantes mencionados foram numerados na ordem dada.
(a) Considere . Determine :
A probabilidade de que uma pessoa que consome o refrigerante Gelato passe a consumir o refrigerante Suave.
A probabilidade de que uma pessoa que consome o refrigerante Suave passe a consumir o refrigerante Gelato.
(b) Considerando a matriz dada em (a) e que as taxas de passagem não mudam numa segunda pesquisa, determine a matriz T2 que indica a probabilidade de se mudar de marca após duas pesquisas e mostre que é T2=T^2.
(c) Considerando que as pesquisas mostram que, as pessoas sempre mudam de refrigerante para alguma das outras duas marcas com a mesma probabilidade, construa a matriz T. Verifique que a matriz T2 que indica a probabilidade de se mudar de marca após duas pesquisas é T2=T^2, como em (b).
Passo 1
Temos uma cadeia de Markov com três estados (1=Gelato, 2=Delícia, 3=Suave) e matriz de transição
onde aij é a probabilidade de ir ao estado i a partir do estado j. Precisamos resolver:
(a) duas probabilidades de mudança de marca;
(b) calcular a matriz das transições em duas etapas T2 e mostrar que é T^2;
(c) montar uma nova matriz T em que sempre se muda para uma das outras duas com mesma probabilidade e verificar que, de novo, T2=T^2.
Passo 2
(a) Leitura direta de T:
– Probabilidade de Gelato (estado 1) to Suave (estado 3) é
a3,1 = 0.1
– Probabilidade de Suave (estado 3) to Gelato (estado 1) é
a1,3 = 0.6
Passo 3
(b) A probabilidade de ir do estado j ao estado i em duas etapas é
(T2)ij ;=;sumk=1^3aik,akj,
que corresponde ao produto matricial T2=Tcdot T=T^2. Calculando cada entrada: