Em uma pesquisa sobre consumo de refrigerantes, foram consideradas três marcas do mercado: Gelato, Delícia e Suave. Após a aplicação da pesquisa foi constatado que em um intervalo de tempo as pessoas mudam a marca do refrigerante consumido e foram
determinadas as seguintes probabilidades de mudança de uma marca para outra (taxas de passagem) organizadas na matriz T=[ai j], onde
ai j= probabilidade de escolha do refrigerante i, após consumo do refrigerante j. Considere que os refrigerantes mencionados foram numerados na ordem dada.
(a) Considere T=[lll0.8 & 0.4 & 0.6 0.1 & 0.5 & 0.2 0.1 & 0.1 & 0.2]. Determine :
  • A probabilidade de que uma pessoa que consome o refrigerante Gelato passe a consumir o refrigerante Suave.
  • A probabilidade de que uma pessoa que consome o refrigerante Suave passe a consumir o refrigerante Gelato.
    (b) Considerando a matriz dada em (a) e que as taxas de passagem não mudam numa segunda pesquisa, determine a matriz T2 que indica a probabilidade de se mudar de marca após duas pesquisas e mostre que é T2=T^2.
    (c) Considerando que as pesquisas mostram que, as pessoas sempre mudam de refrigerante para alguma das outras duas marcas com a mesma probabilidade, construa a matriz T. Verifique que a matriz T2 que indica a probabilidade de se mudar de marca após duas pesquisas é T2=T^2, como em (b).

Passo 1

Temos uma cadeia de Markov com três estados ( 1=Gelato, 2=Delícia, 3=Suave) e matriz de transição
T = 0.8 & 0.4 & 0.6 0.1 & 0.5 & 0.2 0.1 & 0.1 & 0.2 ,
onde aij é a probabilidade de ir ao estado i a partir do estado j. Precisamos resolver:
(a) duas probabilidades de mudança de marca;
(b) calcular a matriz das transições em duas etapas T2 e mostrar que é T^2;
(c) montar uma nova matriz T em que sempre se muda para uma das outras duas com mesma probabilidade e verificar que, de novo, T2=T^2.

Passo 2

(a) Leitura direta de T:
– Probabilidade de Gelato (estado 1) to Suave (estado 3) é
a3,1 = 0.1
– Probabilidade de Suave (estado 3) to Gelato (estado 1) é
a1,3 = 0.6

Passo 3

(b) A probabilidade de ir do estado j ao estado i em duas etapas é
(T2)ij ;=;sumk=1^3aik,akj,
que corresponde ao produto matricial T2=Tcdot T=T^2. Calculando cada entrada:
T^2 = 0.74 & 0.58 & 0.68 0.15 & 0.31 & 0.20 0.11 & 0.11 & 0.12

Passo 4

(c) Se sempre mudam para uma das outras duas marcas com igual probabilidade, então de cada coluna j temos
P(jto j)=0, P(jto i)=tfrac12;(ineq j)
Logo
T= 0 & 0.5 & 0.5 0.5 & 0 & 0.5 0.5 & 0.5 & 0
Fazendo T^2 pelo produto matricial obtemos
T^2 = 0.5 & 0.25 & 0.25 0.25 & 0.5 & 0.25 0.25 & 0.25 & 0.5 ,
o que confirma que a matriz de duas etapas é de fato T2=T^2.

Resposta

(a) Gelato to Suave: 0.1. Suave to Gelato: 0.6.
(b)
T2=T^2= 0.74 & 0.58 & 0.68 0.15 & 0.31 & 0.20 0.11 & 0.11 & 0.12
(c)
T= 0 & 0.5 & 0.5 0.5 & 0 & 0.5 0.5 & 0.5 & 0 , T2=T^2= 0.5 & 0.25 & 0.25 0.25 & 0.5 & 0.25 0.25 & 0.25 & 0.5

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