Construa uma tabela para determinar o valor de
para
e determine o valor aproximado de
usando:
a) Polinômio interpolador, fórmula de Lagrange.
b) Polinômio interpolador, fórmula de Newton.
c) Calcular um limitante superior para o erro.
a) Polinômio interpolador, fórmula de Lagrange.
b) Polinômio interpolador, fórmula de Newton.
c) Calcular um limitante superior para o erro.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas principais e dá os pontos onde vamos trabalhar.
- O que pediram:
- Construir uma tabela com os valores de
para , . - Usar esses pontos para aproximar
por:
a) polinômio interpolador pela fórmula de Lagrange;
b) polinômio interpolador pela fórmula de Newton (forma progressiva, dado que os pontos são igualmente espaçados);
c) calcular um limitante superior para o erro da interpolação.
- Construir uma tabela com os valores de
- Informações dadas (que já tiramos do enunciado):
e a função . - Objetivo final: estimar
usando Lagrange e Newton com os pontos acima e dar um bound para o erro.
(Nas próximas etapas eu mostro as fórmulas, calculo tudo passo a passo e te explico o raciocínio.)
Passo 2
Construção da tabela de valores
. Usei valores de
com precisão suficiente para interpolação (valores típicos que você pode ter numa tabela ou obter por série/tabela):
Comentários rápidos sobre a tabela: esses números são os valores exatos (até as casas mostradas) de
. Se você não tiver uma tabela, pode calcular cada valor por série de Taylor centrada em 0:
— para
convergência é rápida e dá essas aproximações.]
Passo 3
Interpolação pelo método de Lagrange — teoria e aplicação passo a passo.
-
Fórmula (explicação): o polinômio interpolador de grau
que passa pelos pontos , , é onde a base de Lagrange éAqui cadavale em e em todos os outros nós — por isso a combinação dá o polinômio que passa por todos os pontos. -
Vamos calcular
para cada . Primeiro calculei os fatores em : -
Para agilizar a conta, observei que os denominadores
para nós uniformemente espaçados com são: ondee . (Se você quiser, na prova pode justificar esses produtos observando que são iguais a vezes .) -
Calculei também o produto completo dos seis fatores
(útil para acelerar as ): (Detalhe: o produto tem sinal positivo porque há um número par de fatores negativos.) -
Então cada
pode ser obtido por Usando os números acima obti os valores (arredondados suficientemente para somar com precisão):(Verificação rápida: a soma dasdá aproximadamente , como deve ocorrer.) -
Finalmente o polinômio de Lagrange avaliado em
é Substituindoda tabela e os acima, obtemos (mostrando os termos principais): Somando todos os termos:Comentário pedagógico: o processo é só multiplicar cadapelo peso e somar — é mecânico, mas requer cuidado com muitas multiplicações; por isso, em prova prefira manter poucas casas intermediárias e só arredondar no final.]
Passo 4
Interpolação pela fórmula de Newton (forma progressiva) — método, tabela de diferenças e avaliação.
-
Motivação e fórmula: para nós os pontos são igualmente espaçados com
. A forma de Newton-Gregory (progressiva) usa diferenças finitas: onde, e é a diferença progressiva (ex.: , , etc). -
Montei a tabela de diferenças (usando os
da tabela do Passo 2): Segundas diferenças:Terceiras diferenças:Quarta diferença:Quinta diferença: -
Avaliação usando
. Vou calcular termo a termo (cada coeficiente é o produto dividido pelo fatorial correspondente): - termo (constante):
. - termo:
. - termo:
. - termo:
. - termo:
. - termo:
.
- termo (constante):
-
Somando todos os termos:
- Conclusão do passo: o polinômio de Newton dá o mesmo valor numérico (dentro do arredondamento) que o polinômio de Lagrange, como se deve esperar (interpolante único). Este valor é
]
Passo 5
Cálculo de um limitante superior para o erro (teoria e aplicação).
-
Teorema do resto (forma de Lagrange) para interpolação de grau
: existe entre os nós tal que Aquie todas as derivadas são . Assim, no intervalo que contém os nós (aqui ), o máximo de é . -
Portanto um limitante superior para o erro absoluto em
é Substituindo e , -
Observação prática: comparando com o valor exato (pela série de Taylor, por exemplo,
), o erro real é cerca de , que está dentro do limitante calculado , como garantido pela teoria.
Resposta
a)
b)
c) Limitante superior para o erro: