Encontre a solução dos sistemas lineares abaixo.
\left[\begin{array}{rrr}1 & 1 & 0 \\\\ -2 & 3 & -3 \\\\ 1 & 0 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 2 \\\\ 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear abaixo, ou seja, encontrar os valores de x, y e z que satisfazem todas as equações simultaneamente:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\\\ -2 & 3 & -3 \\\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Informações dadas:
  • Coeficientes das incógnitas formam a matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\\\ -2 & 3 & -3 \\\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
  • Vetor de termos independentes é
\mathbf{b}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]1\end{pmatrix}.
O objetivo é determinar (x,y,z) que satisfazem A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=\mathbf{b}.]

Passo 2

Vou usar eliminação de Gauss (redução por operações elementares sobre linhas) para transformar o sistema num triangular superior e depois aplicar substituição regressiva. Antes de aplicar, representamos o sistema na forma aumentada (matriz dos coeficientes com a coluna dos termos independentes), porque isso facilita aplicar operações de linha:
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 0 & 1\\[4pt] -2 & 3 & -3 & 2\\[4pt] 1 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right].
Explicando as operações elementares que podemos usar (elas mantêm o conjunto de soluções):
  • trocar duas linhas ( R_i \leftrightarrow R_j),
  • multiplicar uma linha por escalar não nulo ( R_i \leftarrow \lambda R_i),
  • somar múltiplo de uma linha a outra ( R_i \leftarrow R_i + \lambda R_j).
    Vou numerar as linhas como R_1,R_2,R_3.]

Passo 3

Eliminar o elemento abaixo do pivô na coluna 1. O pivô em primeira linha é 1 (ótimo, não precisa dividir). Para zerar o elemento -2 em R_2 faço
R_2 \leftarrow R_2 + 2R_1.
Calculemos cada entrada de R_2:
  • primeira coluna: -2 + 2\cdot 1 = 0,
  • segunda coluna: 3 + 2\cdot 1 = 5,
  • terceira coluna: -3 + 2\cdot 0 = -3,
  • termo independente: 2 + 2\cdot 1 = 4.
    A matriz aumentada vira
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 5 & -3 & 4\\[4pt] 1 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right].]

Passo 4

Agora zerar o elemento abaixo do pivô na coluna 1 em R_3. Faço
R_3 \leftarrow R_3 - R_1.
Calculemos R_3:
  • primeira coluna: 1-1=0,
  • segunda coluna: 0-1=-1,
  • terceira coluna: 1-0=1,
  • termo independente: 1-1=0.
    A matriz aumentada passa a ser
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 5 & -3 & 4\\[4pt] 0 & -1 & 1 & 0 \end{array}\right].]

Passo 5

Agora precisamos um pivô na segunda coluna. Temos 5 em R_2 e -1 em R_3. É conveniente trocar as linhas R_2 e R_3 para trabalhar com um pivô pequeno (isso reduz frações intermediárias). Faço
R_2 \leftrightarrow R_3.
Após a troca:
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & -1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 5 & -3 & 4 \end{array}\right].]

Passo 6

Eliminar o elemento abaixo do novo pivô -1 na segunda coluna. Faço
R_3 \leftarrow R_3 + 5R_2,
porque 5 + 5\cdot(-1)=0. Calculemos R_3:
  • segunda coluna: 5 + 5\cdot(-1)=0,
  • terceira coluna: -3 + 5\cdot 1 = -3 + 5 = 2,
  • termo independente: 4 + 5\cdot 0 = 4.
    A matriz aumentada fica triangular superior:
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & -1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 4 \end{array}\right].]

Passo 7

Agora aplicamos substituição regressiva, pois temos sistema triangular superior. As equações correspondentes (da matriz aumentada) são:
  • da terceira linha: \;2z=4.
    Resolvo para z:
z=\frac{4}{2}=2.

Passo 8

Substituo z na segunda equação (segunda linha): \;-1\cdot y + 1\cdot z = 0, ou seja
-y + z = 0.
Substituindo z=2:
-y + 2 = 0 \quad\Rightarrow\quad y=2.

Passo 9

Finalmente substituo y na primeira equação (primeira linha): \;x + y + 0\cdot z = 1, ou seja
x + y = 1.
Com y=2:
x + 2 = 1 \quad\Rightarrow\quad x = -1.

Passo 10

Verificação rápida (só para ter certeza): plugando (x,y,z)=(-1,2,2) nas equações originais:
  • primeira equação: 1\cdot x + 1\cdot y + 0\cdot z = -1 + 2 = 1 (ok),
  • segunda equação: -2x + 3y -3z = -2(-1) + 3\cdot 2 -3\cdot 2 = 2 +6 -6 =2 (ok),
  • terceira equação: 1\cdot x + 0\cdot y + 1\cdot z = -1 + 2 = 1 (ok).
    Tudo confere, solução correta.

Resposta

\;x=-1\n \;y=2\n \;z=2

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