Seja
definida no intervalo
.
(i) Aproxime
utilizando interpolação linear com
e
.
(ii) Aproxime
utilizando interpolação linear com
e
.
(iii) Aproxime
e
utilizando um polinômio, fórmula de Lagrange de grau 2 , com os pontos
.
(iv) Em qual dos casos obtemos melhor aproximação no ponto desejado? Justifique suas afirmações.
(i) Aproxime
(ii) Aproxime
(iii) Aproxime
(iv) Em qual dos casos obtemos melhor aproximação no ponto desejado? Justifique suas afirmações.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida em
e pede quatro coisas:
(i) Aproximar
usando interpolação linear com
e
.
(ii) Aproximar
usando interpolação linear com
e
.
(iii) Aproximar
e
usando o polinômio de Lagrange de grau 2 com os pontos
,
,
.
(iv) Dizer em qual dos casos obtemos melhor aproximação no ponto desejado e justificar.
Informações disponíveis que vamos usar explicitamente:
Vou calcular valores numéricos aproximados de
quando necessário para obter aproximações decimais, e também vou usar fórmulas de erro para justificar qual método é melhor.
Passo 2
Fórmula da interpolação linear (aula rápida, mão na massa):
Se temos dois nós e
, a interpolação linear (reta que passa pelos dois pontos) é
Se temos dois nós
Aqui
e
são os valores conhecidos; a fração é a inclinação da reta. Essa fórmula é útil na prova: você identifica os dois nós que cercam o ponto onde quer aproximar, calcula a inclinação e avalia em
.
Também anoto a fórmula do erro (importante para julgar qualidade): para interpolação linear existe
no intervalo com
Isto diz que o erro tem a segunda derivada em algum ponto
e depende do produto
. Para
temos
, que é positiva e crescente.
Passo 3
Calculemos os valores de apoio (nós) que precisaremos. Vou dar aproximações decimais de
com precisão suficiente para a prova:
-
então . -
então
-
então
-
então
(Usei arredondamentos compatíveis com cálculos de prova; se quiser mais casas, dá para estender.)
Passo 4
(i) Interpolação linear entre
e
para aproximar
.
Aplicando a fórmula:
A inclinação é
Avalio em
(
):
Portanto, pela interpolação linear entre
e
obtemos
Passo 5
(ii) Interpolação linear entre
e
para aproximar
.
Fórmula:
A inclinação é
Avalio em
(
):
Portanto, pela interpolação linear entre
e
obtemos
Passo 6
(iii) Polinômio de Lagrange de grau 2 com os nós
,
,
.
Recordando a forma prática (aula curtinha): os polinômios base são
O polinômio interpolador é
Usando os valores numéricos calculados em Passo 3:
Uma forma alternativa útil é obter
. Resolvo rapidamente pelos três nós:
Resolvendo o sistema dá
Logo
Agora avalio em
e
.
Para
:
Para
:
Portanto, pelo polinômio de Lagrange de grau 2:
Passo 7
Vou comparar as aproximações com os valores reais (para avaliar erros). Calculo
exato em forma numérica:
Usando as aproximações de
já utilizadas:
Agora os erros (aproximação menos valor “verdadeiro”):
-
Para
: - Interpolação linear (entre
e ): . - Lagrange grau 2:
(erro em módulo maior).
- Interpolação linear (entre
-
Para
: - Interpolação linear (entre
e ): . - Lagrange grau 2:
.
- Interpolação linear (entre
Logo numericamente: para ambos os pontos a interpolação linear local (usando os nós mais próximos) deu erro menor que o polinômio global de grau 2 com nós
.
Passo 8
Justificativa teórica (por que a linear local ficou melhor aqui):
-
A fórmula de resto para interpolação linear épara algum
no intervalo dos nós. Como é crescente, o tamanho do erro depende do comprimento do intervalo e do valor de nesse intervalo. Nos casos lineares usei intervalos de tamanho , portanto é pequeno (no nosso caso em ambos os pontos), o que limita o erro. -
Para o polinômio de grau 2 o resto épara algum
no intervalo . Aqui também cresce e, além disso, o produto pode ter valor relativamente grande em módulo quando os nós são espaçados em (como é o caso ). Isso aumenta potencialmente o erro do polinômio global, mesmo que ele seja de grau maior. -
Concretamente, ao estimar uma cota superior, para
o termo do resto cúbico tem módulo aproximadamente multiplicado por (que até pode ser grande), gerando uma cota de erro maior do que a cota para o caso linear local. Numericamente vimos que o erro real do polinômio de grau 2 foi de ordem em , bem maior que o erro linear local .
Intuição prática: quando a função é exponencial e cresce/curva bastante, interpolar localmente (entre pontos próximos) tende a ser mais preciso do que usar um polinômio que “tenta” ajustar valores distantes — o polinômio global pode oscilar ou subestimar/superestimar entre os nós distantes.
Resposta
(i)
pela interpolação linear entre
e
.
(ii) pela interpolação linear entre
e
.
(iii) e
pelo polinômio de Lagrange de grau 2 com
.
(iv) Em ambos os pontos a melhor aproximação foi obtida pelas interpolações lineares locais (i) e (ii); a justificativa é que o erro de interpolação depende das derivadas e dos produtos — como aqui os intervalos locais são menores (
) o termo de resto fica muito menor do que no polinômio quadrático construído com nós mais afastados.
(ii)
(iii)
(iv) Em ambos os pontos a melhor aproximação foi obtida pelas interpolações lineares locais (i) e (ii); a justificativa é que o erro de interpolação depende das derivadas e dos produtos