y^prime prime-2 y^prime+y=e^t(1+t^2), Resolva a Edo pelo método de variação de parâmetros

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial usando o método de variação de parâmetros. Primeiro, vamos entender que estamos trabalhando com equações diferenciais de segunda ordem e que vamos precisar encontrar tanto a solução geral da equação homogênea associada quanto uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, encontramos a equação característica que é .

Passo 3

Resolvendo a equação característica yh(t) = (C1 + C2 t) e^t , obtemos as raízes: (raiz dupla). Isso significa que a solução geral da homogênea será:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa usando o método de variação de parâmetros. Primeiro, identificamos as soluções da homogênea: e .

Passo 5

No método de variação de parâmetros, assumimos que u1' = -y2(t) cdot g(t)W . Precisamos encontrar u2' = y1(t) cdot g(t)W e . Para isso, usamos as seguintes fórmulas:
onde e é o Wronskiano das soluções homogêneas.

Passo 6

Calculando o Wronskiano W = y1 & y2 y1' & y2' = e^t & t e^t e^t & e^t + t e^t = e^2t :

Passo 7

Agora, calculamos u1' = -t e^t cdot e^t(1 + t^2)e^2t = -t(1 + t^2) e u2' = e^t cdot e^t(1 + t^2)e^2t = 1 + t^2 :

Passo 8

Integrando para encontrar u1(t) = integral -t(1 + t^2) dt = -t^22 - t^44 + C e u2(t) = integral (1 + t^2) dt = t + t^33 + C :
Como estamos procurando uma solução particular, podemos ignorar as constantes de integração.

Passo 9

Substituindo yp(t) = (-t^22 - t^44) e^t + (t + t^33) t e^t e yp(t) = (-t^22 - t^44 + t^2 + t^43) e^t = (t^22 + t^412) e^t na expressão de :
Simplificando:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = (C1 + C2 t) e^t + (t^22 + t^412) e^t
onde e são constantes arbitrárias.

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