Dê exemplos de:
(a) Grupo de ordem 8 que não possua nenhum elemento de ordem 4.
(a) Grupo de ordem 8 que não possua nenhum elemento de ordem 4.
Passo 1
O enunciado pede um exemplo de grupo finito de ordem 8 que não tenha nenhum elemento cuja ordem seja 4. O conteúdo envolvido é teoria de grupos finitos, em particular a classificação (até isomorfismo) dos grupos de ordem
e o uso do Teorema de Cauchy (que garante elementos de ordem primo divisor do tamanho do grupo).
Passo 2
Sabemos que, até isomorfismo, existem exatamente cinco grupos de ordem 8:
,
,
,
o grupo diédrico ,
e o grupo quaternioniano .
o grupo diédrico
e o grupo quaternioniano
Passo 3
Analisamos a existência de elementos de ordem 4 em cada caso:
— Em existe o gerador de ordem 8, cujas potências incluem um elemento de ordem 4.
— Em há elementos
de ordem 4.
— Em a rotação de
tem ordem 4.
— Em os elementos
têm ordem 4.
— Em todo elemento não identidade tem ordem 2.
— Em
— Em
— Em
— Em
— Em
Passo 4
Portanto, o único grupo de ordem 8 sem nenhum elemento de ordem 4 é o produto direto de três cópias de
.