Dê exemplos de:
(a) Grupo de ordem 8 que não possua nenhum elemento de ordem 4.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de grupo finito de ordem 8 que não tenha nenhum elemento cuja ordem seja 4. O conteúdo envolvido é teoria de grupos finitos, em particular a classificação (até isomorfismo) dos grupos de ordem 8 e o uso do Teorema de Cauchy (que garante elementos de ordem primo divisor do tamanho do grupo).

Passo 2

Sabemos que, até isomorfismo, existem exatamente cinco grupos de ordem 8: \mathbb{Z}_{8}, \mathbb{Z}_{4}\times\mathbb{Z}_{2}, \mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2},
o grupo diédrico D_{4},
e o grupo quaternioniano Q_{8}.

Passo 3

Analisamos a existência de elementos de ordem 4 em cada caso:
— Em \mathbb{Z}_{8} existe o gerador de ordem 8, cujas potências incluem um elemento de ordem 4.
— Em \mathbb{Z}_{4}\times\mathbb{Z}_{2} há elementos (1,0) de ordem 4.
— Em D_{4} a rotação de 90^\circ tem ordem 4.
— Em Q_{8} os elementos i,j,k têm ordem 4.
— Em \mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2} todo elemento não identidade tem ordem 2.

Passo 4

Portanto, o único grupo de ordem 8 sem nenhum elemento de ordem 4 é o produto direto de três cópias de \mathbb{Z}_{2}.

Resposta

\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}

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